👤
a fost răspuns

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție [tex]$z_{1} \circ z_{2}=z_{1}+z_{2}-\frac{1}{2} \bar{z}_{1}-\frac{1}{2} \bar{z}_{2}$[/tex], unde [tex]$\bar{Z}$[/tex] este conjugatul lui [tex]$z$[/tex].

a) Arătați că [tex]$(1+i) \circ(1-i)=1$[/tex].

b) Se consideră [tex]$H=\{2+b i \mid b \in \mathbb{R}\}$[/tex]. Arătați că [tex]$H$[/tex] este parte stabilă a lui [tex]$\mathbb{C}$[/tex] în raport cu legea de compoziție , [tex]$\circ "$[/tex].

c) Se consideră numărul complex [tex]$z_{0}$[/tex]. Arătați că există o infinitate de numere complexe z cu proprietatea că numărul [tex]$z_{0} \circ z$[/tex] este real.

Răspuns :

[tex]z_{1} \circ z_{2}=z_{1}+z_{2}-\frac{1}{2} \bar{z}_{1}-\frac{1}{2} \bar{z}_{2}[/tex]

a)

[tex]\bar{z_1}=1-i\\\\\bar{z_2}=1+i[/tex]

[tex](1+i)*(1-i)=1+i+1-i-\frac{1-i}{2}-\frac{1+i}{2} =2+\frac{i}{2}-\frac{1}{2} -\frac{1}{2}-\frac{i}{2} =2-1=1[/tex]

b)

[tex]z_1=2+ai\\\\z_2=2+bi[/tex]

[tex]\bar{z_1}=2-ai\\\\\bar{z_2}=2-bi[/tex]

[tex]z_{1} \circ z_{2}=2+ai+2+bi-\frac{2-ai}{2}-\frac{2-bi}{2}=4+(a+b)i-\frac{4-(a+b)i}{2} =4+(a+b)i-2+\frac{(a+b)i}{} =2+\frac{3}{2}(a+b)i[/tex]

De aici rezulta ca H este parte stabila a lui C in raport cu legea de compozitie

c)

[tex]Fie\ z_0=a+bi\\\\Fie\ z=x-bi\\\\z_0\circ z=a+bi+x-bi-\frac{a-bi}{2}-\frac{x+bi}{2} =a+x-\frac{a}{2}+\frac{bi}{2}-\frac{x}{2} -\frac{bi}{2}=\frac{a+x}{2}[/tex]

Cum a si x∈R⇒ [tex]z_0\circ z\in R[/tex]

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919127

#BAC2022

#SPJ4

Alte intrebari