👤
a fost răspuns

Se consideră funcţia [tex]$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x-e^{x}$[/tex].

5p a) Arătaţi că [tex]$\int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{3}{2}-e$[/tex].

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] b) Calculați [tex]$\int_{0}^{1} x f(x) d x$[/tex].

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] c) Pentru fiecare număr natural nenul [tex]$n$[/tex], se consideră numărul [tex]$I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n}(x-f(x)) d x$[/tex]. Demonstrați că [tex]$I_{n}+n I_{n-1}=e$[/tex], pentru orice număr natural [tex]$n, n \geq 2$[/tex].

Răspuns :

[tex]f(x)=x-e^{x}[/tex]

a)

Vezi tabelul de integrale din atasament

[tex]\int\limits^1_0 {x-e^x} \, dx =\frac{x^2}{2}|_0^1-e^x|_0^1=\frac{1}{2}-e+e^0=\frac{3}{2}-e[/tex]

b)

[tex]\int\limits^1_0 {x(x-e^x)} \, dx =\frac{x^3}{3}|_0^1 -\int\limits^1_0 {xe^x} \, dx =\frac{1}{3}-xe^x|_0^1+e^x|_0^1 =\frac{1}{3} -e+e-1=-\frac{2}{3}[/tex]

[tex]\int\limits^1_0 {xe^x} \, dx=[/tex]

[tex]f=x\ \ \ \ \ f'=1\\\\ g'=e^x\ \ \ \ g=e^x\\\\\int\limits^1_0 {xe^x} \, dx=xe^x|_0^1-\int\limits^1_0 {e^x} \, dx=xe^x|_0^1-e^x|_0^1=e-e+1=1[/tex]

c)

[tex]I_n=\int\limits^1_0 {x^ne^x} \, dx[/tex]

Integram prin parti

[tex]f=x^n\ \ \ \ f=nx^{n-1}\\\\g'=e^x\ \ \ \ g=e^x\\\\I_n=x^ne^x|_0^1-\int\limits^1_0 {nx^{n-1}e^x} \, dx=e-nI_{n-1}[/tex]

[tex]I_n+nI_{n-1}=e-nI_{n-1}+nI_{n-1}=e[/tex]

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918948

#BAC2022

#SPJ4

Vezi imaginea AndreeaP

Alte intrebari