Răspuns :
3.2.40
Tensiunea electrica indusa in bobina datorita variatiei fluxului magnetic in interiorul ei va avea formula:
[tex]E = -\frac{d\Phi}{dt}\\unde:\\\Phi = N\times \pi \times r^2 \times B(t)\\Numeric:\\\Phi = 500 \times 3,14 \times 16 \times 10^{-4} \times (0,01\times t + 2\times10^{-4}\times t^3) = 2,51 \times (0,01 \times t + 0,0002 \times t^3)\\\implies\\E = 2,51 \times (0,01 + 0,0006 \times t^2)\\t = 10s \implies\\E = 2,51 \times (0,01 + 0,0006 \times 100) = 2,51 \times (0,01 + 0,06)\\E = 0,1759\hspace{1mm}V\\\implies\\I = \frac{E}{R} = \frac{0,1759}{500}\\\bold{I = 0,352\hspace{1mm}mA}[/tex]
3.2.42
Datorita conformatiei circuitului, bara CC' poate fi considerata ca doi rezistori grupati in paralel, fiecare avand rezistenta r/2. Vom calcula mai jos si rezistenta echivalenta, notata cu Rp. De asemenea, suprafata de circuit care este strabatuta de flux magnetic este chiar discul inelului, care face 5 rotatii pe secunda. De aceea variatia fluxului in unitatea de timp va fi egala cu 5 x suprafata discului.
La fel ca in problema precedenta, scriem formula tensiunii induse:
[tex]E = -\frac{d\Phi}{dt}\\\Phi = B \times S = B \times \pi \times \frac{d^2}{4}\\Numeric:\\\Phi = 3,14 \times 10^{-4}\hspace{1mm}Wb\\Atunci:\\E = 5 \times 3,14 \times 10^{-4} = 1,57\hspace{1mm}mV[/tex]
Calculam apoi rezistenta echivalenta Rp (conform explicatiei anterioare):
[tex]\frac{1}{Rp} = \frac{1}{r/2} + \frac{1}{r/2}; r = 0,2\hspace{1mm}\Omega \implies\\Rp = 0,05\hspace{1mm}\Omega[/tex]
Apoi scriem legea lui Ohm si legea puterii electrice pentru intregul circuit:
[tex]E = I \times (Rp + R) \implies I = \frac{E}{Rp+R} = \frac{1,57\times10^{-3}}{0,05+0,2} = 6,28\times 10^{-3}A\\\implies\\P = R\times I^2\\P = 0,2 \times 6,28 \times 6,28 \times 10^{-6}\\P \approx 7,9\hspace{1mm}\mu W[/tex]
S.3
Vom folosi mai multe concepte.
Primul este tensiunea electrica indusa:
[tex]E = -\frac{d\Phi}{dt}[/tex]
Al doilea este fenomenul de autoinductie, care are loc in interiorul supraconductorului:
[tex]U = L\times \frac{dI}{dt}[/tex]
Punem conditia ca tensiunea totala pe bucla sa fie zero:
[tex]E + U = 0 \implies\\\frac{d\Phi}{dt} = L\frac{dI}{dt} \implies\\I = \Phi \times L + const\\Dar:\\I_0 = 0\\\Phi_0 = S \times B_z_0 = d^2 \times (B_0 + a \times 0) = d^2 \times B0\\\implies\\I = \frac{\Phi - d^2\times B_0}{L} = \frac{d^2(B_0+az) - d^2B_0}{L}\\I = \frac{d^2a}{L}\times z[/tex]
Lasat liber, patratul tinde la inceput sa coboare sub actiunea propriei greutati. Analizand componentele lui B in functie de coordonatele x, y si z, remarcam faptul ca:
- componenta y este zero, nu influenteaza nimic
- componenta z este verticala, ea va genera o forta electromagnetica asupra supraconductorului strabatut de curentul I, pe directie orizontala, doar asupra celor doua laturi ale patratului care sunt perpendiculare pe x. Dar curentul I care le strabate are sensuri opuse in cele doua laturi, de aceea forta datorata lui Bz este zero.
- componenta x este orizontala si forta electromagnetica pe care ea o exercita asupra supraconductorului va fi verticala si indreptata in sus:
[tex]F_L = I \times l \times B_x\\F_L = I \times [d \times (-\frac{ad}{2}) + d \times (-\frac{ad}{2}]\\F_L = \frac{d^2a}{L}\times z \times (-ad^2)\\F_L = -\frac{a^2d^4}{L} \times z[/tex]
Daca a este zero, atunci forta electromagnetica va fi si ea zero, corpul cade uniform accelerat in camp gravitational. Mai interesant este cazul in care constanta a este diferita de zero. Sa detaliem mai jos.
Am ajuns la o relatie care indica faptul ca forta electromagnetica pe directie z are caracter de forta elastica (este proportionala cu z luat cu semn negativ).
Din legea fundamentala a dinamicii pe directia z, rezulta:
[tex]a_z = \frac{F_L}{m} - g[/tex]
Vom incerca o solutie sinusoidala, si va trebui sa aflam amplitudinea, pulsatia, faza initiala si deplasarea fata de originea axelor pentru z(t):
[tex]Fie:\\z(t) = A \times \sin(\omega t + \omega_0) + C\\z(0) = 0 \implies A \times \sin(\omega_0) + C = 0\\v(0) = 0 \implies \frac{dz}{dt}_{|0} = 0 \implies A\times \omega \times cos(\omega_0) = 0 \implies \omega_0 = \frac{\pi}{2}\\\implies A = -C\\\frac{d^2z}{dt^2} = -A \times \omega^2 \times \sin(\omega t + \omega_0) = a_z = \frac{F_L}{m} - g \implies\\-A \times \omega^2 \times \sin(\omega t + \omega_0) = -\frac{a^2d^4}{mL} \times (A \times \sin(\omega t + \omega_0) + C) - g[/tex]
Coeficientii in relatia de mai sus trebuie sa se simplifice, deoarece relatia este valabila oricare ar fi timpul t:
[tex]-A \times \omega^2 + A \times \frac{a^2d^4}{mL} = 0 \implies \omega = \frac{|a|d^2}{\sqrt{mL}}\\g + \frac{a^2d^4}{mL} \times C = 0 \implies C = -\frac{mgL}{a^2d^4}\\A = -C \implies\\A = \frac{mgL}{a^2d^4}[/tex]
Am aflat astfel parametrii ce caracterizeaza miscarea armonica a cadrului patrat supraconductor in camp magnetic variabila si camp gravitational constant.
O alta problema cu oscilator armonic: https://brainly.ro/tema/907540
O alta problema cu forta electromagnetica: https://brainly.ro/tema/3762308
