👤
a fost răspuns

Se consideră matricea [tex]$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 1 & -1 & -a \\ a & -1 & 1\end{array}\right)$[/tex] și sistemul de ecuaţii [tex]$\left\{\begin{array}{l}x+a y-z=a \\ x-y-a z=-1 \text {, unde } a \text { este } \\ a x-y+z=-1\end{array}\right.$[/tex] număr real.

[tex]$5 p$[/tex] a) Arătați că det [tex]$(A(1))=-4$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] b) Determinaţi mulțumea valorilor reale ale lui a pentru care matricea [tex]$A(a)$[/tex] este inversabilă.

[tex]$5 p$[/tex] c) Arătați că sistemul de ecuații nu admite nicio soluție [tex]$\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$[/tex] pentru care [tex]$x_{0}=y_{0}=z_{0}$[/tex].

Răspuns :

[tex]A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 1 & -1 & -a \\ a & -1 & 1\end{array}\right)[/tex]

a)

Inlocuim pe a cu 1, adaugam primele doua linii ale determinantului

[tex]det(A(1))=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1& -1 & 1\end{array}\right|[/tex]

                      1     1      -1

                      1    -1      -1

det(A(1))=(-1+1-1)-(1+1+1)=-1-3=-4

b)

Matricea A(a) este inversabila daca det(A(a)) este diferit de zero

[tex]det(A(a))=\left|\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 1 & -1 & -a \\ a & -1 & 1\end{array}\right|[/tex]

                      1      a      -1

                      1     -1      -a

det(A(a))=(-1+1-a³)-(a+a+a)=-a³-3a

-a(a²+3)≠0

a≠0

a²≠-3

a∈R\{0}

c)

x=y=z

[tex]\left\{\begin{array}{l}x+a x-x=a \\ x-x-a x=-1 \text {, unde } a \text { este } \\ a x-x+x=-1\end{array}\right.[/tex]

Din prima ecuatie obtinem ax=a

Din a doua ecuatie obtinem ax=1

Din a treia ecuatie obtinem ax=-1

ax=1 si ax=-1⇒ fals⇒ ca sistemul nu admite solutie pentru x=y=z

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9859456

#BAC2022

#SPJ4

Alte intrebari