👤
a fost răspuns

Se consideră matricea [tex]$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right)$[/tex] şi sistemul de ecuații [tex]$\left\{\begin{array}{l}x+y-2 z=1 \\ x-2 y+z=2, \text { unde } a \text { este } \\ a x+y+z=3\end{array}\right.$[/tex] număr real.

[tex]$5 p$[/tex] a) Arătați că [tex]$\operatorname{det}(A(1))=-9$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] b) Demonstrați că suma elementelor matricei [tex]$B(a)=A(a) \cdot A(a)$[/tex] nu depinde de numărul real [tex]$a$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] c) Pentru [tex]$a=-2$[/tex], arătați că sistemul de ecuații este incompatibil.

Răspuns :

[tex]A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right)[/tex]

a)

Aratati ca det(A(1))=-9

Inlocuim pe a cu 1 si adaugam primele doua linii ale determinantului

[tex]det(A(1))=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|[/tex]

                      1      1     -2

                      1     -2     1

det(A(1))=(-2-2+1)-(4+1+1)=-3-6=-9

b)

Daca suma elementelor matricei B(a) nu depinde de a, rezultatul va fi un numar real

Calculam A(a)A(a)

[tex]A(a)\cdot A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right)=\\\\=\left(\begin{array}{ccc}2-2a & -3 & -3 \\ -1+a & 6 & -3 \\ 2a+1 & a-1 & -2a+2\end{array}\right)[/tex]

Adunam elementele matricei si obtinem:

2-2a-3-3-1+a+6-3+2a+1+a-1-2a+2=0 nu depinde de a

c)

[tex]\left\{\begin{array}{l}x+y-2 z=1 \\ x-2 y+z=2, \\-2 x+y+z=3\end{array}\right[/tex]

Observam ca daca adunam ecuatiile obtinem:

x+y-2z+x-2y+z-2x+y+z=1+2+3

0=6, false⇒ sistemul este incompatibil

Un exercitiu cu sistem de ecuatii incompatibil gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1025898

#BAC2022

Alte intrebari