[tex]f(x)=x^{2}-\ln \left(x^{2}+1\right)[/tex]
a)
Vezi tabelul de derivate in atasament
[tex]f'(x)=2x-\frac{(x^2+1)'}{x^2+1} =2x-\frac{2x}{x^2+1}=\frac{2x^3+2x-2x}{x^2+1} =\frac{2x^3}{x^2+1}[/tex]
b)
Fie ecuatia tangentei la graficul functiei in punctul A(a, f(a))
Ecuatia tangentei:
y-f(a)=f'(a)(x-a)
Dreapta Ox are ecuatia y=0
Daca axa Ox este tangenta graficului functiei f, atunci f'(a)=0 si f(a)=0
f(0)=0-ln1=0
f'(0)=0
⇒ Axa Ox este tangenta la graficul functiei f
c)
Demonstrati că, pentru orice număr natural nenul f(x)=n are doua solutii reale distincte
Studiem monotonia functiei f
[tex]f'(x)=\frac{2x^3}{x^2+1} \\\\x^2+1 > 0\\\\2x^3 > 0, pentru\ x > 0\\\\2x^3 < 0, pentru\ x < 0\\\\[/tex]
f'(x)<0 pentru x∈(-∞,0) ⇒ f este descrescatoare pe (-∞,0)
f'(x)>0 pentru x∈(0,+∞)⇒ f este crescatoare pe (0,+∞)
Studiem continuitatea functiei f
[tex]\lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty\\\\ \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty[/tex]
f este continua pe (-∞,+∞)
f(0)=0-ln1=0
Din cele de mai sus⇒ Ecuatia are doua solutii reale distincte
Un exercitiu cu ecuatia tangentei gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1062516
#BAC2022
