[tex]f(x)=x^{2}-2 \ln x[/tex]
a)
Calculam f'(x)
(Vezi tabelul de integrale in atasament)
[tex]f'(x)=2x-\frac{2}{x} =\frac{2x^2-2}{x} =\frac{2(x^2-1)}{x} =\frac{2(x-1)(x+1)}{x}[/tex]
b)
Monotonia functiei f
f'(x)=0
2(x-1)(x+1)=0
x-1=0, x=1
x+1=0, x=-1
Tabel semn
x -∞ -1 0 1 +∞
f'(x) + + + + + 0 - - - |- - - - -0 + + + + +
f(x) | ↓ f(1) ↑
Pe intervalul (0,1] functia f este descrescatoare si pe intervalul [1,+∞) functia f este crescatoare
c)
Ne folosim de punctul b
Pe intervalul (0,+∞)
f(x)≥f(1)
[tex]f(\frac{2}{3})\geq f(1)\\\\ \frac{4}{9}-2ln\frac{2}{3} \geq 1-2ln1\\\\ \frac{4}{9}-2ln \frac{2}{3}\geq 1\\\\ \frac{4}{9}-1\geq 2ln\frac{2}{3} \\\\\frac{-5}{9} \geq 2ln\frac{2}{3} \ \ \ |:2\\\\-\frac{5}{18}\geq ln\frac{2}{3}[/tex]
Un alt exercitiu similar de bac il gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4122921
#BAC2022
#SPJ4
