Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă [tex]$x \circ y=x+y+7 x y$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] a) Arătați că [tex]$x \circ y=7\left(x+\frac{1}{7}\right)\left(y+\frac{1}{7}\right)-\frac{1}{7}$[/tex], pentru orice numere reale [tex]$x$[/tex] și [tex]$y$[/tex].

5p b) Determinaţi numerele reale [tex]$x$[/tex], pentru care [tex]$x \circ x=5$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] c) Dați exemplu de numere distincte [tex]$a, b \in \mathbb{Q} \backslash \mathbb{Z}$[/tex] pentru care numărul [tex]$a \circ b$[/tex] este natural.

[tex]x+y+7xy=x+7xy+y=7x(\frac{1}{7}+y)+(y+\frac{1}{7})-\frac{1}{7}=(y+\frac{1}{7})(7x+1)-\frac{1}{7}=7(y+\frac{1}{7})(x+\frac{1}{7})-\frac{1}{7}[/tex]

O problema similara de bac: https://brainly.ro/tema/9882033

b)

[tex]x\circ x=x+x+7x^2=5\\\\7x^2+2x-5=0\\\\\Delta=4+140=144\\\x_1=\frac{-2+12}{14} =\frac{5}{7} \\\\x_2=\frac{-2-12}{14}=-1[/tex]

c)

[tex]a\circ b=a+b+7ab=7(a+\frac{1}{7}) (b+\frac{1}{7})-\frac{1}{7}[/tex]

[tex]a\circ b\in N[/tex]

[tex]7(a+\frac{1}{7})(b+\frac{1}{7})-\frac{1}{7}\in N\\\\\\De\ exemplu:\\7(a+\frac{1}{7} )(b+\frac{1}{7})=\frac{15}{7}\\\\\\\frac{15}{7}-\frac{1}{7}=2\in N\\\\ 49(a+\frac{1}{7})(b+\frac{1}{7})=15\\\\(a+\frac{1}{7})(b+\frac{1}{7})=\frac{15}{49} \\\\Avem:\\\\a+\frac{1}{7} =\frac{5}{7} \\\\a=\frac{4}{7}\ si\ \\ b+\frac{1}{7}=\frac{3}{7}\\\\ b=\frac{2}{7}[/tex]

O problema similara de bac: https://brainly.ro/tema/9882033

#BAC2022

#SPJ4