👤
a fost răspuns

Se consideră funcţia [tex]$f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x \ln x$[/tex].

5p a) Arătaţi că [tex]$f^{\prime}(x)=1+\ln x, x \in(0,+\infty)$[/tex].

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] b) Determinaţi [tex]$m \in(0,+\infty)$[/tex] pentru care tangenta la graficul functiei [tex]$f$[/tex] în punctul [tex]$M(m, f(m))$[/tex] este paralelă cu dreapta de ecuație [tex]$y=2 x$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] c) Demonstrați că [tex]$x \ln x+\frac{1}{e} \geq 0$[/tex], pentru orice [tex]$x \in(0,+\infty)$[/tex]. şirul [tex]$\left(I_{n}\right)_{n \geq 1}$[/tex] este convergent.

Răspuns :

f(x)=xlnx

a)

Ne folosim de formula de derivare:

(fg)'=f'g+fg'

f'(x)=x'lnx+x(lnx)'

[tex]f'(x)=lnx+x\frac{1}{x} =lnx+1[/tex]

b)

Tangenta la graficul functiei f este in punctul M(m,f(m)) si este paralela cu dreapta de ecuatie y=2x, panta=2

Pantele sunt egale

f'(m)=2

ln m+1=2

ln m=1

m=e

c)

Vom face monotonia functiei f

f'(x)=0

ln x+1=0

lnx=-1

x=e⁻¹

Tabel semn:

x      -∞    0      e⁻¹          +∞

f'(x)  - - - - - - -  0 + + + + +

f(x)        ↓       f(e⁻¹)       ↑

                       [tex]-\frac{1}{e}[/tex]

[tex]f(e^{-1})=f(\frac{1}{e})=\frac{1}{e}\cdot ln\frac{1}{e}= \frac{1}{e}(ln1-lne)=\frac{1}{e}(0-1)=-\frac{1}{e}[/tex]

f este descrescatoare pe [tex](0,\frac{1}{e})[/tex] si crescatoare pe [tex](\frac{1}{e},+\infty)[/tex]

[tex]f(x)\geq[/tex] [tex]f(\frac{1}{e})[/tex]

[tex]xlnx\geq -\frac{1}{e}\\\\xlnx+\frac{1}{e}\geq 0[/tex][tex],\ x\in(0,+\infty)[/tex]

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/8831045

#BAC2022

#SPJ4

Alte intrebari