Determinati valorile intregi ale lui x pentru care 2x+9/x-1 apartine z

[tex] \frac{2x + 9}{x - 1} = \frac{2x - 2 + 11}{x - 1} = \frac{2(x - 1) + 11}{x - 1} = \frac{2(x - 1)}{x - 1} + \frac{11}{x - 1} = 2 + \frac{11}{x - 1} [/tex]

(x - 1) este divizor întreg al lui 11

=> (x - 1) ∈ {-11; -1; 1; 11}

[tex]x - 1 = - 11 = > x = - 10 \\ x - 1 = - 1 = > x = 0 \\ x - 1 = 1 = > x = 2 \\ x - 1 = 11 = > x = 12[/tex]

=> x ∈ {-10; 0; 2; 12}

Efektm Efektm · Answer 2 · 2022-05-14T10:01:10+03:00

Răspuns:

x ∈ {-10 , 0 , 2 , 12}

Explicație pas cu pas:

Condiția de existență a fracției: x≠1

[tex]\frac{2x+9}{x-1}[/tex] trebuie să fie număr întreg.

[tex]\frac{2x+9}{x-1} = \frac{2x-2 + 11}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{11}{x-1} = 2 + \frac{11}{x-1}[/tex]

cum 2 este număr întreg, ne concentrăm pe fracția 11/(x-1).

Pentru a fi număr întreg, trebuie ca x-1 să fie divizor pentru 11.

11 este număr prim, deci are divizori întregi doar pe ±1 și ±11.

Le luăm pe rând:

a) x -1 = 1 ⇒ x = 2

b) x - 1 = -1 ⇒ x = 0

c) x - 1 = 11 ⇒ x = 12

d) x - 1 = -11 ⇒ x = -10

Verificăm ca soluțiile găsite să respecte condiția de existență: x≠1.

Toate soluțiile respectă această condiție, așadar avem 4 soluții.