Răspuns :
[tex]f(x)=\frac{e^{x}}{x}[/tex]
[tex]g(x)=e^{x} \ln x[/tex]
a)
Pentru a calcula integrala va trebui sa inlocuim f(x), astfel vom obtine:
[tex]\int\limits^2_1 {x\frac{e^x}{x} } \, dx[/tex]
Se va simplifica x cu x si vom obtine:
[tex]\int\limits^2_1 {e^x } \, dx=e^x\ |_1^2=e^2-e=e(e-1)[/tex]
b)
Pentru a calcula integrala va trebui sa inlocuim g(x), astfel vom obtine:
[tex]\int\limits^{e^2}_e {\frac{e^x\times lnx}{xe^x} } \, dx =\int\limits^{e^2}_e {\frac{ lnx}{x} } \, dx[/tex]
Il vom scrie pe [tex]\frac{1}{x} =(lnx)'[/tex]
[tex]\int\limits^{e^2}_e {\frac{ lnx}{x} } \, dx =\int\limits^{e^2}_e {lnx\times (lnx)' } \, dx[/tex]
Stim ca (uⁿ)'=(n-1)uⁿ⁻¹×(u)'
Adica (ln²x)'=2lnx×(lnx)', astfel vom adauga si vom "da inapoi" un 2
[tex]\int\limits^{e^2}_e {\frac{ lnx}{x} } \, dx =\frac{1}{2} \int\limits^{e^2}_e {2lnx\times (lnx)' } \, dx=\frac{1}{2} ln^2x\ |_e^{e^2}=\frac{1}{2}ln^2e^2-\frac{1}{2}ln^2e=2-\frac{1}{2} =\frac{3}{2}[/tex]
c)
[tex]\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} +e^xlnx} \, dx =\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx +\int\limits^e_1 {e^xlnx} \, dx[/tex]
Luam cea de-a doua integrala si o vom integra prin parti, astfel:
[tex]f=lnx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f'=\frac{1}{x} \\\\g=e^x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g=e^x[/tex]
[tex]\int\limits^e_1 {e^xlnx} \, dx=e^xlnx\ _1^e-\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx[/tex]
Vom inlocui ce am aflat pentru a afla integrala noastra din cerinta:
[tex]\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} +e^xlnx} \, dx =\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx +\int\limits^e_1 {e^xlnx} \, dx=\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx+e^xlnx\ _1^e-\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx[/tex]
Observam ca cele doua integrale se reduc si ne va ramane:
[tex]\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} +e^xlnx} \, dx =e^xlnx\ _1^e=e^elne-e^1ln1=e^e[/tex]
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1021443
#BAC2022
#SPJ4
