Răspuns :
[tex]f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2020}+1, x \in(0,1] \\ \frac{x+1}{x}, x \in(1,+\infty)\end{array}\right[/tex]
a)
Pentru ca o functie sa fie continua intr-un punct a, trebuie ca limita la stanga sa fie egala cu limita la dreapta si egala cu f(a)
[tex]l_s=l_d=f(a)[/tex]
[tex]l_s= \lim_{x \to 1 \\_{x < 1}} x^{2020}+1=1^{2020}+1=2[/tex]
[tex]l_d= \lim_{x \to 1 \\_{x > 1}} \frac{x+1}{x} =\frac{1+1}{1}=2[/tex]
[tex]f(1)=1^{2020}+1=2[/tex]
[tex]l_s=l_d=f(1)[/tex]
⇒ functia f este continua in punctul 1
b)
Studiem limita catre +∞
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x} =\frac{\infty}{\infty}[/tex]
Aplicam L'Hopital, derivam numarator, derivam numitor si obtinem:
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{(x+1)'}{x'} =\frac{1}{1} =1[/tex]
Dreapta de ecuatie y=1 este asimptota orizontala catre +∞ la graficul functiei f
c)
Studiem monotonia functiei f'
[tex]f'(x)=(\frac{x+1}{x} )'=\frac{x-(x+1)}{x^2} =-\frac{1}{x^2}[/tex]
[tex]f''(x)=(-\frac{1}{x^2} )'=-\frac{0-2x}{x^4} =\frac{2}{x^3}[/tex]
Pentru x∈(1,+∞) [tex]\frac{2}{x^3} > 0[/tex] ⇒ f' este crescatoare pe (1,+∞)
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3464284
#BAC2022
#SPJ4
