Răspuns:
1) (21, 24, 63, 65, 67) sau (29, 31, 33, 75, 78);
2) P = 72 cm; A = 216√2 cm²; L = 12π√2 cm
Explicație pas cu pas:
1) media aritmetică a 5 numere este 48
• două dintre ele sunt multipli consecutivi ai lui 3:
3j; 3(j + 1), j ∈ Z
• celelalte trei sunt impare consecutive:
2k+1; 2k+3; 2k+5, k ∈ Z
• diferența dintre cel mai mare și cel mai mic este 46:
[tex]m_{a} = \frac{3j + 3(j + 1) + 2k + 1 + 2k + 3 + 2k + 5}{5} = 48[/tex]
[tex]6(j + k) = 240 - 12 \\ j + k = 38 = > k = 38 - j[/tex]
• cel mai mare și cel mai mic dintre numere nu pot fi amândouă impare consecutive sau amândouă multipli consecutivi ai lui 3
=> există două cazuri:
cazul 1:
cel mai mic: 3j și cel mai mare: 2k + 5
[tex]2k + 5 - 3j = 46 \\ 2(38 - j) - 3j = 41\\ 76 - 2j - 3j = 41 \\ 5j = 35 = > j = 7 = > k = 31[/tex]
[tex]j = 7 = > \\ 3j = 21 \\ 3(j + 1) = 24 \\ k = 31 = > \\ 2k + 1 = 63 \\ 2k + 3 = 65 \\ 2k + 5 = 67[/tex]
numerele sunt: 21, 24, 63, 65, 67
cazul 2:
cel mai mic: 2k + 1 și cel mai mare: 3(j + 1)
[tex]3(j + 1) - (2k + 1) = 46 \\ 3j + 3 - 2(38 - j) - 1 = 46\\ 3j + 3 - 76 + 2j - 1 = 46 \\ 5j = 120 = > j = 24 = > k = 14[/tex]
[tex]j = 24 = > \\ 3j = 75 \\ 3(j + 1) = 78 \\ k = 14 = > \\ 2k + 1 = 29 \\ 2k + 3 = 31 \\ 2k + 5 = 33[/tex]
numerele sunt: 29, 31, 33, 75, 78
2)
ABCD trapez isoscel în care este înscris cercul de centru O și rază r,
AB || DC, AD = BC
AB = 12 cm; DC = 24 cm
cercul este tangent la laturile trapezului, raza r = OP = OR = ON, unde:
OP ⊥ AB => AP = BP = AB÷2 = 6
=> BP = 6 cm
OR ⊥ DC => DR = CR = DC÷2 = 12 cm
=> CR = 12 cm
ON ⊥ BC =>
ΔONB≡ΔOPB => BN = BP
=> BN = 6 cm
ΔONC≡ORC => CN = CR
=> CN = 12 cm
BC = BN + CN = 6 + 12 = 18
=> BC = 18 cm
sau
[tex]BC = \frac{AB + DC}{2} [/tex]
Perimetrul:
[tex]P_{(ABCD)} = AB + DC + 2*BC = 12 + 24 + 2*18 = 72 \: cm[/tex]
inaltimea BT ⊥ DC
[tex]TC = \frac{DC - AB}{2} = \frac{24 - 12}{2} = 6 cm[/tex]
[tex]BT^{2} = BC^{2} - TC^{2} = 18^{2} - 6^{2} = 288 \\= > BT = 12 \sqrt{2} cm[/tex]
Aria:
[tex]A_{(ABCD)} = \frac{(AB + DC)*BT}{2} = \frac{(12 + 24)*12 \sqrt{2} }{2} = 216 \sqrt{2} cm^2[/tex]
PR = BT si PR este diametrul cercului
Lungimea cercului:
[tex]L = \pi \: d =\pi \times BT = 12\pi \sqrt{2} \: cm[/tex]
