👤
a fost răspuns

Se consideră funcţia [tex]$f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x-e \ln x$[/tex].

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] a) Arătaţi că [tex]$f^{\prime}(x)=\frac{x-e}{x}, x \in(0,+\infty)$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] b) Demonstrați că graficul funcției [tex]$f$[/tex] nu admite în niciun punct o tangentă paralelă cu dreapta de ecuatie [tex]$y=x$[/tex].

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] c) Demonstraţi că ecuația [tex]$e^{x}-x^{e}=0$[/tex] are exact o soluție în [tex]$(0,+\infty)$[/tex].

Răspuns :

[tex]f(x)=x-e \ln x[/tex]

a)

Folosim formula de derivare:

[tex](\frac{f}{g} )'=\frac{f'g-fg'}{g^2}[/tex]

[tex]f'(x)=(x-e \ln x)'=1-\frac{e}{x}=\frac{x-e}{x}[/tex]

b)

Daca dreptele sunt paralele atunci pantele sunt egale

Fie tangenta la graficul functiei in punctul A(a,f(a))

y=x

m=1 (m-panta)

Daca pantele sunt egale atunci f'(a)=1

[tex]f'(a)=\frac{a-e}{a} \\\\\frac{a-e}{a} =1[/tex]

a-e=a

e=0 Fals ⇒ graficul functiei f nu admite în niciun punct o tangentă paralelă cu dreapta de ecuatie y=x

c)

[tex]e^x-x^e=0[/tex]

Facem monotonia

f'(x)=0

x-e=0

x=e

Facem tabel semn

x        0            e               +∞

f'(x)       - - - - - 0 + + + ++ +

f(x)        ↓       f(e)    ↑

                     0

f(x) este descrescatoare pe intervalul (0,e) si crescatoare pe intervalul (e,+∞) si f(e)=0 ⇒ ecuatia are o singura solutie in intervalul (0,+∞)

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/2737885

#BAC2022

#SPJ4

Alte intrebari