👤
a fost răspuns

Se consideră funcţia [tex]$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x-2}{x^{2}+5}$[/tex].

5p a) Arătaţi că [tex]$f^{\prime}(x)=\frac{(5-x)(x+1)}{\left(x^{2}+5\right)^{2}}, x \in \mathbb{R}$[/tex].

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] b) Determinaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre [tex]$+\infty$[/tex] la graficul funcţiei [tex]$f$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] c) Demonstraţi că [tex]$-\frac{1}{2} \leq f(x) \leq \frac{1}{10}$[/tex], pentru orice număr real [tex]$x$[/tex].

Răspuns :

[tex]f(x)=\frac{x-2}{x^{2}+5}[/tex]

a)

Calculam f'(x), folosind formula:

[tex](\frac{f}{g} )'=\frac{f'g-fg'}{g^2}[/tex]

[tex]f'(x)=(\frac{x-2}{x^{2}+5})'=\frac{x^2+5-2x(x-2)}{(x+5)^2} =\frac{x^2+5-2x^2+4x}{(x+5)^2}[/tex]

[tex]f'(x) =\frac{-x^2+4x+5}{(x+5)^2} =\frac{(5-x)(x+1)}{(x+5)^2}[/tex]

Nota: -x²+4x+5=-x²+1+4x+4=(1-x)(1+x)+4(x+1)=(x+1)(1-x+4)=(x+1)(5-x)

b)

Ecuatia asimptotei orizontale spre +∞, inseamna sa calculam limita catre +∞ din f(x)

[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x-2}{x^{2}+5}=0[/tex]

Nota: daca gradul de sus este mai mic decat gradul de jos, limita va fi egala cu 0 (1<2)

Ecuatia asimptotei orizontale spre +∞ este y=0

c)

Facem monotonia functiei, f'(x)=0

[tex]f'(x) =\frac{(5-x)(x+1)}{(x+5)^2}=0[/tex]

(5-x)(x+1)=0

x=5 si x=-1

Facem tabel semn

x        -∞             -1            5               +∞

f'(x)   - - - - - - - -   0  + + + 0 - - - - - - -

f(x)          ↓          f(-1)  ↑   f(5)        ↓

                           [tex]- \frac{1}{2}[/tex]       [tex]\frac{1}{10}[/tex]    

Functia este crescatoare pe intervalul [-1, 5]⇒    [tex]- \frac{1}{2}\leq f(x)\leq \frac{1}{10}[/tex]      

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/2388784

#BAC2022

#SPJ4

Alte intrebari