Explicație pas cu pas:
Numerotăm unghiurile din jurul punctului H, pentru a ne referi la ele mai ușor.
∡H1 = 180° - ∡BHC = 180° - 120° = 60°
∡H4 ≡ ∡H1 (op. la vârf)
∡H2 = 180° - ∡AHB = 180° - 120° = 60°
∡H5 ≡ ∡H4 (op. la vârf)
∡H3 = 180° - ∡AHC = 180° - 120° = 60°
∡H6 ≡ ∡H3 (op. la vârf)
⇔ unghiurile formate în jurul ortocentrului au fiecare 60°
De aici încolo sunt mai multe căi de abordare a demonstrației.
Îți propun varianta care mi se pare cea mai rapidă:
Știm că într-un patrulater convex suma unghiurilor este de 360°.
în patrulaterul ΔBPHM:
∡B = 360° - ∡BPH - ∡BMH - ∡H1 - ∡ H2
∡B = 360° - 90° - 90° - 60° - 60° = 60°
similar, în patrulaterul CNHM ⇒ ∡C = 60°
și în patrulaterul APHM ⇒ ∡A = 60°
⇒ ΔABC are toate unghiurile de 60 ° ⇔ ΔABC echilateral
