[tex]f(x)=\frac{x-1}{x+1}+\ln (x+1)-\ln x[/tex]
a)
Ne folosim de tabelul derivatelor (cel atasat)
[tex](\frac{f}{g} )'=\frac{f'g-fg'}{g^2}[/tex]
[tex]f'(x)=(\frac{x-1}{x+1})'+(\ln (x+1))'-(\ln x)'=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2} +\frac{1}{x+1} -\frac{1}{x} =\\\\f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}+\frac{1}{x+1} -\frac{1}{x} =\frac{2+x+1}{(x+1)^2} -\frac{1}{x}[/tex]
Aducem la acelasi numitor, prima fractie amplificam cu x si pe a doua cu (x+1)²
[tex]f'(x)=\frac{(3+x)x-(x+1)^2}{x(x+1)^2}=\frac{3x+x^2-x^2-2x-1}{x(x+1)^2}=\frac{x-1}{x(x+1)^2}[/tex]
b)
Pentru a determina ecuatia asimptotei orizontale, vom calcula limita spre +∞
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1}+\ln (x+1)-\ln x= \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1}+\ln\frac{x+1}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1}+ \lim_{x \to \infty} \ln\frac{x+1}{x}[/tex]
Vom calcula cele doua limite, pe rand
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1}=1[/tex] (gradul numaratorului=gradul numitorului)
Nota: Daca gradele mari ale numaratorului, respectiv numitorului sunt egale atunci limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor.
In cazul nostru coeficientii sunt 1 si 1, adica raport=1
[tex]\lim_{x \to \infty} \ln\frac{x+1}{x}=ln( \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x})=ln1=0[/tex] (gradul numaratorului=gradul numitorului)
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1}+\ln (x+1)-\ln x= 1+0=1[/tex]
Ecuatia asimptotei orizontale spre +∞ este y=1
c)
Studiem monotonia functiei
[tex]f^{\prime}(x)=\frac{x-1}{x(x+1)^{2}}=0[/tex]
x-1=0
x=1
Facem tabel semn
x -∞ 0 1 +∞
f'(x) | - - - - - 0 + + + + +
f(x) | ↓ ↓ ↓f(1) ↑ ↑ ↑ ↑
ln2
f(1)=0+ln2-ln1=ln2
ln2>0⇒ Gf nu intersecteaza axa OX
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/743485
#BAC2022
