👤
a fost răspuns

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă [tex]$x * y=-\frac{3}{5} x y+x+y$[/tex].

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] a) Arătați că [tex]$x * y=-\frac{3}{5}\left(x-\frac{5}{3}\right)\left(y-\frac{5}{3}\right)+\frac{5}{3}$[/tex], pentru orice numere reale [tex]$x$[/tex] și [tex]$y$[/tex].

5p b) Arătați că [tex]$\frac{5 x}{3} * \frac{5}{3 x} \geq \frac{5}{3}$[/tex], pentru orice [tex]$x \in(0,+\infty)$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] c) Calculați [tex]$\frac{1}{3} * \frac{2}{3} * \frac{3}{3} * \ldots * \frac{2020}{3}$[/tex].

Răspuns :

[tex]x * y=-\frac{3}{5} x y+x+y[/tex]

a) Trebuie sa descompunem expresia

  • Dam factor comun fortat pe [tex]-\frac{3}{5}x[/tex] si facem un artificiu de calcul prin  adaugarea si scaderea lui [tex]\frac{5}{3}[/tex]

[tex]-\frac{3}{5} x y+x+y=-\frac{3}{5} x(y-\frac{5}{3} )+y-\frac{5}{3} +\frac{5}{3} =(y-\frac{5}{3} )(-\frac{3}{5}x+1)+\frac{5}{3}[/tex]

  • Dam factor comun fortat in a doua paranteza pe [tex]-\frac{3}{5}[/tex] si obtinem:

[tex](y-\frac{5}{3} )(-\frac{3}{5}x+1)+\frac{5}{3}=-\frac{3}{5}(y- \frac{5}{3} )(x-\frac{5}{3} )+\frac{5}{3} =-\frac{3}{5}(x- \frac{5}{3} )(y-\frac{5}{3} )+\frac{5}{3}[/tex]

b) Ne folosim de punctul a

[tex]\frac{5x}{3} *\frac{5}{3x}= -\frac{3}{5}(\frac{5x}{3} - \frac{5}{3} )(\frac{5}{3x} -\frac{5}{3} )+\frac{5}{3}[/tex]

  • In a doua paranteza aducem la acelasi numitor comun, a doua fractie amplfiica cu x si obtinem:

[tex]\frac{5x}{3} *\frac{5}{3x}= -\frac{3}{5}\times\frac{5x-5}{3}\times \frac{5-5x}{3x}+\frac{5}{3}[/tex]

[tex]\frac{5x}{3} *\frac{5}{3x}= -\frac{3}{5}\times\frac{5x-5}{3}\times \frac{5(1-x)}{3x}+\frac{5}{3}[/tex]

  • Simplificam pe diagonala 3 cu 3 si 5 cu 5 si obtinem:

[tex]\frac{5x}{3} *\frac{5}{3x}= \frac{5(x-1)^2}{3x} +\frac{5}{3}[/tex]

  • Stim din cerinta ca x>0 si de asemenea stim ca orice numar la o putere para este un numar pozitiv, deci (x-1)²≥0 si x>0

Atunci 5(x-1)²≥0 si 3x>0, deci [tex]\frac{5(x-1)^2}{3x} > 0[/tex], adica  [tex]\frac{5(x-1)^2}{3x}+\frac{5}{3}\geq \frac{5}{3}[/tex]

c) [tex]\frac{1}{3} * \frac{2}{3} * \frac{3}{3} * \ldots * \frac{2020}{3}[/tex]

Calculam elementul absorbant

x*a=a

[tex]x*a =-\frac{3}{5}(x- \frac{5}{3} )(a-\frac{5}{3} )+\frac{5}{3}\\\\-\frac{3}{5}(x- \frac{5}{3} )(a-\frac{5}{3} )+\frac{5}{3}=a\\\\-\frac{3}{5}(x- \frac{5}{3} )(a-\frac{5}{3} )=a-\frac{5}{3}\\\\-\frac{3}{5}(x- \frac{5}{3} )(a-\frac{5}{3} )-(a-\frac{5}{3})=0\\\\(a-\frac{5}{3})[-\frac{3}{5}(x- \frac{5}{3} )-1]=0\\\\a-\frac{5}{3}=0\\\\a=\frac{5}{3}[/tex]

[tex]\frac{1}{3} * \frac{2}{3} * \frac{3}{3} * \ldots * \frac{2020}{3}=(\frac{1}{3} * \frac{2}{3}*...*\frac{4}{3} )*\frac{5}{3} *...*\frac{2020}{3} =[/tex]

Observam ca prima paranteza compusa cu [tex]\frac{5}{3}[/tex] ne va da [tex]\frac{5}{3}[/tex], deci vom avea

[tex]\frac{5}{3} *(\frac{6}{3}* ...*\frac{2020}{3}) =\frac{5}{3}[/tex]

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4631082

#BAC2022

Alte intrebari