Răspuns:
[tex](4;2 \sqrt{3} ;2) \: sau \:(4;2;2 \sqrt{3} )[/tex]
Explicație pas cu pas:
△ABC dreptunghic în A
raza cercului înscris este r = √3-1
raza cercului circumscris este R = 2
notăm:
ipotenuza: a
catetele: b, c
a = 2R => a = 4
folosim relația:
[tex]r = \frac{b + c - a}{2} = > b + c = 2r + a = 2( \sqrt{3} - 1) + 4 = 2 (\sqrt{3} + 1)[/tex]
[tex]= > b = 2 (\sqrt{3} + 1) - c[/tex]
[tex]{b}^{2} + {c}^{2} = {a}^{2} = > {b}^{2} + {c}^{2} = 16[/tex]
formăm ecuația de gradul 2:
[tex](2 (\sqrt{3} + 1) - c)^{2} + {c}^{2} = 16 \\ {c}^{2} - 2( \sqrt{3} + 1)c + 4 \sqrt{3} = 0\\ (c - 2)(c - 2 \sqrt{3}) = 0[/tex]
[tex]c = 2 = > b = 2 \sqrt{3} \\ c = 2 \sqrt{3} = > b = 2[/tex]
=>△ABC dreptunghic în A
[tex](a;b;c) = (4;2 \sqrt{3} ;2) \: sau \: (4;2;2 \sqrt{3} )[/tex]
