Explicație pas cu pas:
ΔABC isoscel, AB ≡ AC (1)
=> ∢ABC ≡ ∢ACB (2)
AD ⊥ AC => ∢CAD = 90° => ∢BAD = ∢A - 90°
AE ⊥ AB => ∢ BAE = 90° => ∢CAE = ∢A - 90°
=> ∢BAD ≡ ∢CAE (3)
a)
din (1), (2) și (3) =>
ΔABD ≡ ΔACE (4)
b)
DM ⊥ AB (5)
EN ⊥ AC (6)
din (4), (5) și (6)
=> DM×AB = EN×AC => DM ≡ EN (7)
din (3), (5), (6) și (7) =>
ΔAMD ≡ ΔANE => AM ≡ AN (8)
c)
P ∈ MD, P ∈ NE => ∢AMP = ∢ANP = 90° (9)
din (8), (9) și [AP] latură comună =>
ΔAMP ≡ ΔANP
=> ∢MAP ≡ ∢NAP => AP bisectoare => AP înălțime
(într-un triunghi isoscel, bisectoarea corespunzătoare unghiului necongruent este și înălțime)
=> AP ⊥ BC
