Răspuns :
Distanta dintre doua puncte este:
[tex]AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]
[tex]AB=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5} \\\\AC=\sqrt{4+9} =\sqrt{13} \\\\BC=\sqrt{64}=8[/tex]
Am verificat daca triunghiul este dreptunghic (nu este dreptunghic) , atunci coordonatele ortocentrului ar fi fost exact coordonatele varfului unghiului drept.
Pentru a afla coordonatele ortocentrului (punctul de intersectie a inaltimilor) trebuie sa aflam doua ecuatii a doua inaltimi si apoi sa rezolvam sistemul de ecuatie
Ecuatia inaltimii din punctul B:
[tex]y-y_B=m(x-x_B)[/tex]
m=panta
Aflam panta dreptei AC
[tex]m_{AC}=\frac{y_A-y_C}{x_A-x_C} =\frac{3}{2}[/tex]
Din conditia de perpendicularitate a doua drepte (produsul pantelor este egal cu -1)
[tex]m=-\frac{2}{3}[/tex]
Ecuatia inaltimii din punctul B:
[tex]y-1=-\frac{2}{3}(x-8)[/tex]
3y-3=-2x+16
Ecuatia inaltimii din punctul C:
[tex]y-y_C=m(x-x_C)[/tex]
Aflam panta dreptei AB
[tex]m_{AB}=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B} =\frac{3}{-6} =-\frac{1}{2}[/tex]
Din conditia de perpendicularitate a doua drepte (produsul pantelor este egal cu -1)
m=2
Ecuatia inaltimii din punctul C:
y-1=2(x-0)
y-1=2x
3y-3=-2x+16
y-1=2x⇒y=2x+1
Inlocuim in prima relatie si obtinem:
3(2x+1)-3=-2x+16
6x+3-3=-2x+16
8x=16
x=2
y=4+1=5⇒ coordonatele ortocentrului H(2,5)
