Salut,
Știm că i² = --1, deci i⁴ = +1.
Suma din enunț (o notăm cu S) are 2022 termeni (puterile lui i cresc de la 0, din 1 în 1, până la 2021, inclusiv).
Suma primilor 4 termeni este:
1 -- i + i² -- i³ = 1 -- i -- 1 --i·i² = --i --i·(--1) = --i + i = 0.
Suma pentru următorii 4 termeni este:
i⁴ -- i⁵ + i⁶ -- i⁷ = i⁴·(1 -- i + i² -- i³) = i⁴·0 = 0.
Știm că 2022 = 4·505 + 2.
Pentru primii 2020 de termeni ai sumei (de la 1, până la --i²⁰¹⁹ inclusiv) suma se poate scrie ca sumă a 505 grupuri, fiecare grup conține câte 4 termeni, iar valoarea fiecărui grup este 0 (calculele de mai sus sunt sumele pentru primele 2 grupe, a câte 4 termeni).
Deci de la primul termen (care este 1), până la termenul cu numărul de ordine 2020 (adică --i²⁰¹⁹ ) întreaga sumă ia valoarea 0.
Mai rămân ultimii 2 termeni, care sunt așa:
i²⁰²⁰ -- i²⁰²¹ = i²⁰²⁰·(1 -- i) = (i⁴)⁵⁰⁵·(1 -- i) = 1·(1 -- i) = 1 -- i.
Deci S = 1 -- i, răspunsul corect este deci A.
Ai înțeles rezolvarea ?
Green eyes.
