Avem:
AB=b
AC=b
BC=a
a+b=2c
sinA+sinB=√3
- Teorema sinusului exprima o relatie de proportionalitate intre laturile triunghiului si sinusurile unghiurilor triunghiului
Laturile unui triunghi au lungimile a, b si c, iar unghiurile care se opun acestora sunt A, B și C
- Din teorema sinusului avem:
[tex]\frac{a}{sinA} =\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC} =2R[/tex]
a=2RsinA
b=2RsinB
c=2RsinC
Stim ca a+b=2c
2RsinA+2RsinB=2×2RsinC
2R(sinA+sinB)=4RsinC |:2R
sinA+sinB=2sinC
√3=2sinC
[tex]sinC=\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
C=60°
Stim ca sinA+sinB=√3
Dar stim ca:
[tex]sinA+sinB=2sin\frac{A+B}{2} cos\frac{A-B}{2}[/tex]
- De asemenea, cunoastem ca suma unghiurilor unui triunghi este 180°, adica A+B+C=180°
A+B=180-60=120°
[tex]sinA+sinB=2sin\frac{A+B}{2} cos\frac{A-B}{2}\\\\\sqrt{3} =2sin60\times cos\frac{A-B}{2} \\\\\sqrt{3} =2\times\frac{\sqrt{3} }{2} \times cos\frac{A-B}{2}\\\\1=cos\frac{A-B}{2}[/tex]
[tex]\frac{A-B}{2}=0[/tex]
A=B
Daca A=B si A+B=120°
A=B=60° si C=60°⇒ ΔABC echilateral
