Răspuns:
n = 9
Explicație pas cu pas:
Formula pentru calculul combinărilor de n luate câte k este:
[tex]C^{k}_{n} =\frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex]
Folosim formula, înlocuind pe k, după datele problemei:
[tex]C^{3}_{n} +C^{2}_{n} =15(n-1)[/tex]
[tex]\frac{n!}{3!(n-3)!}+\frac{n!}{2!(n-2)!}=15(n-1)[/tex]
Numitorul comun este 3! · (n - 2)!
Prima fracție o amplificăm cu (n - 2), a doua fracție cu 3.
[tex]\frac{(n-2)n!+3n!}{3!(n-2)!}=15(n-1)[/tex]
scoatem n! factor comun la numărător:
[tex]\frac{n!(n+1)}{6(n-2)!}=15(n-1)[/tex]
simplificăm prin (n - 2)!
[tex]\frac{n(n-1)(n+1)}{6}=15(n-1)[/tex]
[tex]n(n+1)=90[/tex]
n² + n - 90 = 0
Δ = 1 + 360 = 361 = 19²
n₁ = (- 1 + 19) / 2 = 9
n₂ = (- 1 - 19) / 2 = - 10, < 0, soluție care nu ne convine
⇒ n = 9
