Cautam un numar palindrom, adica un numar al carui rasturnat este egal cu numarul initial
aabbaa
Rasturnatul lui: aabbaa
Ca un numar sa fie patrat perfect trebuie ca ultima cifra a numarului sa fie {0,1,4,5,6,9}
Dar a=0, nu se poate, fiind prima cifra a numarului
Ramane sa studiem a={1,4,5,6,9}
Stim ca un patrat perfect daca il impartim la 4 ne va da restul 0 sau 1
Criteriul de divizibilitate cu 4 ne spune ca ultimele 2 cifre trebuie sa se imparta exact la 4, dar in cazul nostru se accepta si restul 1
Astfel pentru a=1, vom avea ultimele 2 cifre, adica 11:4=2 rest 3, deci nu se poate
a=4, vom avea ultimele 2 cifre 44:4=11 rest 0
Ne ramane sa studiem 44bb44
Dar stim ca un patrat perfect este de forma 3k sau 3k+1
Adunam cifrele numarului: 16+2b={16,18,19,21,22,24,25,27,28,30,31,33,34}
b={0,1,3,4,6,7,9}-niciun numar nu verifica
a=5, vom avea ultimele 2 cifre 55:4=13 rest 3, nu se poate
a=6, vom avea ultimele 2 cifre 66:4=16 rest 2, nu se poate
a=9, vom avea 99:4=24 rest 3, nu se poate
abccba
Stim ca ultimul numar al unui patrat perfect poate fi: {0,1,4,5,6,9}
Dar daca a=0, nu se poate, fiind prima cifra dintr-un numar
Deci avem de studiat:
1bccb1
Stim ca un numar patrat perfect daca il impartim la 4 ne da restul 0 sau 1
Deci b poate fi={0,2,4,6,8}
Studiem:
b=0
Stim ca orice patrat perfect este de forma 3k sau 3k+1, adica restul impartirii la 3 este 0 sau 1
10cc01 trebuie sa fie de forma 3k sau 3k+1
Criteriul de divizibilitate cu 3: suma cifrelor numarului sa se imparta la 3, sau in cazul nostru restul poate fi 0 sau 1
Vom avea:
2+2c trebuie sa imparta la 3 sau restul sa fie 1
2+2c={6,7,9,10,12,13,15,16,18,19}
c={2,4,7,8}- niciun numar nu verifica
b=2
12cc21
6+2c={6,7,9,10,12,13,15,16,18,19,21,22,24}
c={0,2,3,5,6,8,9}-niciun numar nu verifica
b=4
14cc41
10+2c={12,13,15,16,18,19,21,22,24,25,27,28}
c={1,3,4,6,7,9}-niciun numar nu verifica
b=6
16cc61
14+2c={15,16,18,19,21,22,24,25,27,28,30,31,33}
c={1,2,4,5,7,8}-niciun numar nu verifica
b=8
18cc81
18+2c={18,19,21,22,24,25,27,28,30,31,33,34,36}
c={0,2,3,5,6,8,9}-niciun numar nu verifica
4bccb4
b={0,2,4,6,8}
Studiem:
b=0
40cc04
8+2c={9,10,12,13,15,16}
c={1,2,4}-niciun numar nu verifica
b=2
42cc24
12+2c={12,13,15,16,18,19,21}
c={0,2,3}-niciun numar nu verifica
b=4
44cc44
16+2c={16,18,19,21,22,24,25,27,28,30,31,33}
c={0,1,3,4,6,7}-niciun numar nu verifica
b=6
46cc64
20+2c={21,22,24,25,27,28,30,31,33,34,36,37,39}
c={1,2,4,5,7,8}-niciun numar nu verifica
b=8
48cc84
24+2c={24,25,27,28,30,31,33,34,36,37,39,40,42}
c={0,2,3,5,6,8,9}-niciun numar nu verifica
b={1,3,5,7,9}
6bccb6
b=1
61cc16
16+2c={16,18,19,21,22,24,25,27,28,30,31,33,34}
c={0,1,3,4,6,7,9}-niciun numar nu verifica
b=3
63cc36
18+2c={18,19,21,22,24,25,27,28,30,31,33,34,36}
c={0,2,3,5,6,8,9}-niciun numar nu verifica
b=5
65cc56
22+2c={24,25,27,28,30,31,33,34,36,37,39,40}
c={1,3,4,6,7,9}-niciun numar nu verifica
b=7
67cc76
26+2c={27,28,30,31,33,34,36,37,39,40,42,43}
c={1,2,4,5,7,8}-niciun numar nu verifica
b=9
69cc96
30+2c={30,31,33,34,36,37,39,40,42,43,45,46,48}
c={0,2,3,5,8,9}
Pentru c=8 vom avea:
698896=836²
Deci rasturnatul lui 698896 este chiar 698896 care este patrat perfect