Răspuns:
1) x = 7
2) x = 27
Explicație pas cu pas:
a)
[tex]C_{x-2} ^{2} + C_{x-3}^{2} + C_{x-4} ^{2} = 19[/tex]
Din condițiile de existență a combinărilor rezultă
x-2≥0 ; x-3 ≥ 0 ; x-4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4
[tex]\frac{(x-2)!}{2!(x-4)!} + \frac{(x-3)!}{2!(x-5)!} + \frac{(x-4)!}{2!(x-6)!} = 19[/tex]
[tex]\frac{(x-3)(x-2)}{2} + \frac{(x-4)(x-3)}{2} + \frac{(x-5)(x-4)}{2} = 19[/tex]
x² - 5x + 6 + x² - 7x + 12 + x² - 9x + 20 = 38
3x² - 21x + 38 = 38
3x² - 21x = 0
3x(x-7) = 0 de unde
x₁ = 0 - această soluție nu respectă condiția de existență a combinărilor
x₂ = 7
b)
[tex]30 C_{x-3} ^{x-9} = 19 A_{x-4} ^{4}[/tex]
Din condițiile de existență a combinărilor rezultă
x-3 ≥ 0 ; x-9 ≥ 0 ; x-4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 9
[tex]30 *\frac{(x-3)!}{(x-9)!*6!} = 19 * \frac{(x-4)}{(x-8)!}[/tex]
[tex]30 * \frac{(x-8)(x-7)(x-6)(x-5)(x-4)(x-3)}{6!} = 19*\frac{(x-7)(x-6)(x-5)(x-4)}{1}[/tex]
30 (x-8)(x-3) = 6! · 19
(x-8)(x-3) = 1·2·3·4·19
x² -11x + 24 = 456
x² - 11x - 432 = 0
Δ = 121 + 1728 = 1849
[tex]x_{1} = \frac{11+43}{2} = \frac{54}{2}[/tex]
x₁ = 27
[tex]x_{2} = \frac{11 - 43}{2} = \frac{-32}{2}[/tex]
x₂ = -16 această soluție nu respectă condiția de existență a combinărilor
