As propune o abordare generala a acestei probleme pentru a putea pune in evidenta cateva lucruri.
Conventie : Notez cu [tex]p_M[/tex] pretul dupa marire de 10%, [tex]p_m[/tex] pretul dupa o micsorare de 10%, [tex]p_f[/tex] pretul final dupa o marire si o micsorare iar cu [tex]p_i[/tex] pretul initial, unde [tex]p_M, p_m, p_i, p_f[/tex] sunt numere reale nenule.
[1] Este vreo diferenta intre cele doua preturi?
[+] Raspuns : Da, diferenta dintre pretul initial si cel final este egala cu 1% din pretul initial.
[+] Explicatie :
Daca un obiect s-a scumpit cu 10% atunci valoarea acestuia este 110% din pretul initial.
[tex]p_M=\frac{110}{100}*p_i[/tex]
Daca un obiect s-a ieftinit cu 10% atunci valoarea acestuia este 90% din pretul initial.
[tex]p_m=\frac{90}{100}*p_i[/tex]
Daca aplicam succesiv o marire si micsorare de pret de 10% pretul final va fi :
[tex]p_f=\frac{90}{100}(\frac{110}{100}*p_i)[/tex]
[tex]p_f=\frac{9*11}{10*10} *p_i\\\\p_f=\frac{99}{100} *p_i[/tex]
Deci dupa aceste doua operatii pretul final este 99% din pretul initial.
Diferenta intre pretul final si pretul initial este de
[tex]p_i-p_f=p_i-\frac{99}{100}*p_i =\frac{1}{100}*p_i[/tex]
Deci diferenta de pret intre pretul final si pretul initial este egala cu 1% din pretul initial. Cat timp pretul initial este un numar nenul va exista mereu o diferenta de pret.
[2] Dar daca intai se ieftinea cu 10% si apoi se scumpea tot cu 10%, care era diferenta dintre pretul initial si cel final?
[-] Raspuns : Da, diferenta e aceasi cu diferenta determinata anterior.
[-] Explicatie :
Daca un obiect s-a scumpit cu 10% atunci valoarea acestuia este 110% din pretul initial.
[tex]p_M=\frac{110}{100}*p_i[/tex]
Daca un obiect s-a ieftinit cu 10% atunci valoarea acestuia este 90% din pretul initial.
[tex]p_m=\frac{90}{100}*p_i[/tex]
Daca aplicam succesiv o micsorare si o marire de pret de 10% pretul final va fi :
[tex]p_f=\frac{90}{100} (\frac{110}{100}*p_i)=\frac{110}{100} (\frac{90}{100}*p_i) = \frac{99}{100} *p_i[/tex]
Pretul final este la fel in raport cu pretul anterior ca la subpunctul anterior. Deci dupa aceste operatii diferenta intre pretul initial este tot de 1% din pretul initial.
Observatii :
- O scumire de 10% urmata de o ieftinire de 10% este echivaleanta cu o ieftinire de 10% urmata de o scumpire de 10%. Pretul finalva fi acelasi
- O scumpire de 10% urmata de o ieftinire de 10% NU va insemna ca pretul final este egal cu pretul inital. De fiecare data aplicam ieftinirea/scumpirea pe noul pret, nu pe pretul initial.
Pe cazul nostru particular :
Am ajuns la concluzia ca [tex]p_f=\frac{99}{100}*p_i[/tex], deci [tex]p_i=p_f*\frac{100}{99}[/tex]
Daca [tex]p_f=44.55 \text{ lei}[/tex] atunci [tex]p_i=45 \text{ lei}[/tex]
Diferenta intre cele doua preturi este de [tex]45-44.55 = 0.45[/tex] lei (si dupa cum am demonstrat aceasta este diferenta in amebele cazuri). Observam si faptul ca [tex]\frac{1}{100} *45=0.45[/tex], lucru care confirma rezultatele de mai sus.
