Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Notam E = (1 + i)²ⁿ + (1 - i)²ⁿ⁺¹ = {(1 + i)²]ⁿ + (1 - i)*[(1 - i)²]ⁿ = (1² + 2i + i²)ⁿ + (1 - i)*(1² - 2i + i²)ⁿ =
= (1² + 2i -1)ⁿ + (1 - i)*(1² - 2i -1)ⁿ = 2iⁿ + (1 - i)*(- 2i)ⁿ = 2ⁿ * iⁿ + (1 - i)*(- 1)ⁿ *2ⁿ * iⁿ
Ca la multe alte exercitii cu numere complexe la puterea n, luam cele 4 cazuri in care n se poate afla ca multiplu al lui 4, adica
n = 4a ⇒ iⁿ = 1
⇒ E = 2ⁿ + (1 - i)*2ⁿ = 2ⁿ (1 + 1 - i) = 2ⁿ * (2 - i)
n = 4a + 1 ⇒ iⁿ = i ⇒
⇒ E = 2ⁿ * i + (1 - i)*(- 1) *2ⁿ * i = 2ⁿ * i + (i - 1) * 2ⁿ * i = 2ⁿ * i*(1 + i - 1) = 2ⁿ * i * i = - 2ⁿ
n = 4a + 2 ⇒ iⁿ = -1 ⇒
⇒ E = 2ⁿ * (-1) + (1 - i)* 2ⁿ * (-1) = - 2ⁿ - 2ⁿ * (1 - i) = - 2ⁿ * (1 + 1 - i) = - 2ⁿ * (2 - i)
n = 4a + 3 ⇒ iⁿ = -i ⇒
⇒ E = 2ⁿ * (-i) + (1 - i)*(- 1)*2ⁿ *(-i) = - 2ⁿ * i + (1 - i)* 2ⁿ * i = 2ⁿ * i *( -1 + 1 - i) = - 2ⁿ * i * i = 2ⁿ
