Răspuns:
[tex]X\in \begin{bmatrix}3&5\\3&2\\0&0\end{bmatrix}+\left<\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\1&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\0&1\end{bmatrix}\right>[/tex].
Explicație pas cu pas:
Poti reduce problema pe care o ai in doua probleme de tip [tex]AX=B[/tex] unde [tex]B[/tex] este o matrice coluna. In cazul nostru [tex]X[/tex] este o matrice de tip [tex]3\times 2[/tex], o poti vedea ca fiind [tex]X=\left[\begin{array}{c|c}X_1&X_2\end{array}\right][/tex] o matrice pe blocuri. Scot in evidenta ca
[tex]A\left[\begin{array}{c|c}X_1&X_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c}AX_1&AX_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c}0&3\\3&2\end{array}\right][/tex],
adica doresti sa rezolvi problemele [tex]AX_1=B_1[/tex] si [tex]AX_2=B_2[/tex] unde [tex]B_1=[0\quad 3]^T[/tex] si [tex]B_2=[3\quad 2]^T[/tex]. Voi rezolva doar prima.
Fiind [tex]AX_1=B_1[/tex], forma sa matriciala este
[tex]\left[\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\0&1&-1&3\end{array}\right].[/tex]
Daca aduni linia 2 cu linia 1 (transformare elementara pe linii), vom obtine
[tex]\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&3\\0&1&-1&3\end{array}\right].[/tex]
De aici vine ca [tex]X_1=[3\quad 3+z\quad z]^T[/tex]. In mod analog se obtine [tex]X_2=[5\quad 2+z'\quad z']^T.[/tex]
In sfirsit, pentru fiecare [tex]z,z'[/tex], matricea
[tex]\begin{bmatrix}3&5\\3+z&2+z'\\z&z'\end{bmatrix}[/tex]
este o solutie pentru problema noastra [tex]AX=B[/tex] unde [tex]B=\left[\begin{array}{c|c}B_1&B_2\end{array}\right][/tex] si
[tex]A=\begin{bmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\end{bmatrix}[/tex].
