Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Obs 1: [tex]f(x)[/tex] este mereu pozitiva
Obs 2: [tex]f(0)=\frac{1}{3}[/tex]
Comparam si [tex]\frac{2}{e^2}[/tex] si [tex]f(0)=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]e > 2.5 => e^2>6.25>6 => \frac{2}{e^2} < \frac{1}{3} = f(0)[/tex]
Derivata lui [tex]\frac{e^x}{x+3}[/tex] este [tex]\frac{(x+2)e^x}{(x+3)^2}[/tex] (folosim regula pentru derivata fractiei a doua functii si simplificam), fiind clar pozitiva nenula pentru [tex]x\geq 0[/tex].
Asta inseamna ca pt [tex]x\geq 0[/tex], [tex]\frac{e^x}{x+3}[/tex] este strict crescatoare => pt oricare [tex]x\geq 0[/tex],
[tex]f(x)\geq f(0)=\frac{1}{3}>\frac{2}{e^2}[/tex].
Din toate astea => [tex]f(\frac{-1}{2019})+f(\frac{1}{2021})>\frac{2}{e^2}[/tex]
