S2.
a)
- Pentru [tex]x_0=0[/tex] :
Vom verifica folosind limitele laterale :
[tex]l_d(0)= \lim_{x \to 0,x<0} f(x) = sin(0) = 0[/tex]
[tex]l_s(0)= \lim_{x \to 0,x>0} f(x) = 0^{2} = 0[/tex]
[tex]f(0) = sin(0) = 0[/tex]
Observam [tex]f(x_0)= l_s(0) = l_d(0) = 0[/tex], deci limita in 0 este 0
- Pentru [tex]x_0=\infty[/tex] :
Observam [tex]x_0>0[/tex], deci [tex]\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty}x^{2} = \infty[/tex]
Functia g : (0,infinit) -> R, g(x) = [tex]x^{2}[/tex] este o functie elementara, e continua si cunoastem faptul ca limita acesteia este infinit.
Nota : Daca nu cunoastem proprietatile functiilor elementare putem folosi definitia limitei - sau una din formele echivalente ale acesteia (ai imagine atasata cu definitia matematica a limitei intr-un punct)
- Pentru [tex]x_0=-\infty[/tex]
Stim ca daca f este o functie periodica (care ia cel putin 2 valori) definita pe R atunci f nu are limita la +/- infinit.
Functia trigonometrica sin(x) este o functie care intra in clasa de functii de mai sus, deci nu exista limita la - infinit.
Nota : Acest fapt poate fi demonstrat si cu definitia daca nu cunoastem proprietatile functiilor periodice.
