Răspuns:
Patrulaterul este un poligon cu patru laturi. Patrulaterele pot fi simple sau complexe, iar cele simple pot fi convexe sau concave. Patrulaterul convex este patrulaterul care are toate laturile în „exterior”, iar patrulaterul concav este patrulaterul care are două laturi în „interior”.
Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele.
Laturile opuse sunt congruente două câte două.
Unghiurile opuse sunt congruente două câte două iar cele alăturate sunt suplementare (suma măsurilor lor este egală cu 180 grade).
Diagonalele sale se taie în segmente congruente (se „înjumătățesc”).
Aria unui paralelogram este A=b•h, unde b este lungimea unei laturi iar h este înălțimea corespunzătoare acestei laturi.
Aria unui paralelogram este egală cu dublul ariei triunghiului format de două laturi alăturate și diagonala opusă acestora.
Aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre lungimile a două laturi alăturate și sinusul unuia dintre unghiurile paralelogramului.
Linia mijlocie este segmentul determinat de mijloacele a două laturi dintr-un triunghi, trapez sau paralelogram.
Linia mijlocie se poate nota cu l.m. Câteva proprietăți ale sale sunt:
Linia mijlocie este paralelă în triunghi cu a treia latură (mijloacele primelor două formează linia mijlocie), într-un trapez este paralelă cu laturile paralele ale trapezului, iar într-un paralelogram este paralelă cu cele două laturi opuse;
Folosind teorema fundamentală a asemănării numită și teorema lui Thales, se poate determina lungimea liniei mijlocii:
în triunghi: l.m. = latura cu care este paralelă / 2
în trapez: l.m. = (b + B) / 2, unde b = baza mică și B = baza mare
în paralelogram: l.m. = a, unde a este latura cu care este paralelă linia mijlocie.
Linia mijlocie în triunghiModificare
Dacă prin mijlocul uneia dintre laturile unui triunghi se construiește paralela uneia dintre celelalte două, atunci aceasta trece prin mijlocul celei de-a treia laturi (teorema reciprocă 1).
Dacă un segment are capetele pe două dintre laturile unui triunghi astfel încât unul să fie mijlocul laturii și are măsura jumătate din măsura celei de-a treia laturi, atunci segmentul este linie mijlocie (teorema reciprocă 2).
Mediana într-un triunghi este segmentul determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse acestuia. Există trei mediane corespunzătoare celor trei laturi ale triunghiului. Acestea se intersectează într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului.
Toate cele trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct G numit centru de greutate al acestuia. Centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la 1/3 de mijlocul laturii pe care cade mediana și 2/3 de vârful triunghiului din care pleacă mediana.[1][2]
Împărțirea egală a ariilorModificare
Ca o consecință imediată a proprietății anterioare, rezultă că fiecare mediană împarte triunghiul în alte două triunghiuri de arii egale (echivalente).[3] Toate cele trei mediane împart triunghiul în 6 triunghiuri mai mici având arii egale.
Demonstrație directăModificare

În figura alăturată se observă că {\displaystyle DF} este linia mijlocie a triunghiului :{\displaystyle ABC}, opusă laturii {\displaystyle BC}. Prin urmare, este paralelă cu {\displaystyle BC} și are lungimea egală cu {\displaystyle {\frac {BC}{2}}}.
Deoarece BC || DF rezultă egalitatea unghiurilor:
{\displaystyle OCB=ODF}
și
{\displaystyle OBC=OFD}
fiind alterne interne. Prin urmare, triunghiurile {\displaystyle \Delta OBC} și {\displaystyle \Delta OFD} sunt asemenea. Rezultă că
{\displaystyle {\frac {OF}{OB}}}={\displaystyle {\frac {OD}{OC}}}={\displaystyle {\frac {FD}{BC}}}={\displaystyle {\frac {1}{2}}}
Demonstrație prin teorema lui CevaModificare
Deoarece:
{\displaystyle {\frac {AF}{FC}}} = {\displaystyle {\frac {CE}{EB}}} = {\displaystyle {\frac {BD}{DA}}} = 1, rezultă că și :{\displaystyle {\frac {AF}{FC}}} . {\displaystyle {\frac {CE}{EB}}} . {\displaystyle {\frac {BD}{DA}}}=1. Deci, conform teoremei reciproce pentru teorema lui Ceva medianele sunt concurente.
Lungimea medianeiModificare
Folosind teorema lui Stewart, lungimea medianei corespunzătoare laturii a este egală cu:
{\displaystyle m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}}.
Alte proprietățiModificare
Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are o lungime egală cu jumătate din cea a ipotenuzei.
Medianele unui triunghi dreptunghic având ipotenuza c satisfac proprietatea {\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.}
Medianele corespunzătoare laturilor a și b sunt perpendiculare dacă și numai dacă {\displaystyle a^{2}+b^{2}=5c^{2}.}[4]
Între lungimile laturilor unui triunghi și lungimile medianelor există relația:[5]
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.}
Se poate exprima aria unui triunghi, T, în funcție de lungimile medianelor ma, mb și mc și semisuma lungimilor medianelor (ma + mb + mc)/2 notată σ, când se obține:[6]
{\displaystyle T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}