Răspuns:
a) prin definitie, sinx este o functie marginita, ea apartinand intervalului inchis [-1; 1]. In acest caz, -1 este limita inferioara, iar 1 este limita superioara.
b) (2n)/(n+1) = (2n+2-2)/(n+1) = (2n+2)/(n+1) - 2/(n+1) = 2 - 2/(n+1)
2 este o constanta, asadar trebuie sa studiem fractia 2/(n+1). Numaratorul este constant, iar pe masura ce numitorul creste, valoarea fractiei scade si invers. Asadar, valoarea maxima a lui 2/(n+1) este cea pentru care n este minim, adica 0 (cel mai mic numar din multimea numerelor naturale N). Deci avem 2/0+1 = 2/1 = 2, iar in acest caz avem 2 - 2 adica 0 (limita inferioara).
Asa cum am spus adineauri, pe masura ce numitorul creste, valoarea fractiei scade. Astfel, cu cat n este mai mare, cu atat fractia 2/(n+1) este mai mica. De aceea, ea va tinde la 0 (gandeste-te ca il impart pe 2 la un numar foarte foarte mare), dar nu il va lua si pe 0. Daca 2/(n+1) tinde la 0, atunci avem 2 - 0 = 2 (limita superioara).
c) [tex]\sqrt{n+1}[/tex] - [tex]\sqrt{n}[/tex] = 1 /([tex]\sqrt{n+1}[/tex] + [tex]\sqrt{n}[/tex]) (rationalizarea numitorului)
Astfel, valoarea maxima a acestei fractii este pentru n minim (vezi b)). Minimul lui n este 0, astfel ca avem 1/(1+0) = 1/1 = 1 (limita superioara).
Pe masura ce n creste, numitorul va scade, astfel ca limita inferioara este 0 (gandeste-te ca il impart pe 1 la un numar extrem de mare). Din nou, fractia doar tinde la 0, fara sa o ia.
d) maximul lui 48/(n+1) este pentru n minim, adica 0, si avem 48/1 = 48 (limita superioara).
minimul lui 48/(n+1) este 0 (limita inferioara - vezi c)).
e) minimul lui x^2 este 0, deci minimul lui (x^2 + 1) este 1. Deci, maximul lui 2/(x^2+1) este 2/1 = 2 (limita superioara).
Indiferent daca x tinde la infinit sau la - infinit, x^2 va tinde mereu la infinit, intrucat este pozitiv. Logic vorbind, 2/infinit este 0 (limita inferioara).
f) (x+1)/(x^2+x+1) = (x^2+x+1-x^2)/(x^2+x+1) = (x^2+x+1)/(x^2+x+1) - x^2/(x^2+x+1) = 1 - x^2/(x^2+x+1)
Numerele x^2 si x^2+x+1 sunt ambele pozitive, deci raportul lor este mereu pozitiv.
Comparam numerele x^2+x+1 si x^2 :
x^2+x+1 x^2 (scadem x^2 din ambii membri)
x+1 0
x -1
Asa cum am spus adineauri, x^2/(x^2+x+1) este mereu pozitiv, deci cea mai mica valoare pe care o poate lua este 0. In acest caz, numaratorul ar fi 0, deci avem x^2=0, deci x=0. Deci avem 1 - 0 = 1 (limita superioara).
Limita inferioara este mai greu de calculat, insa conform geogebra, pentru x=-2, x^2/(x^2+x+1) ia valoarea maxima, adica 4/3. Deci limita inferioara este 1- 4/3, adica -1/3.
