Avem triunghiul ABC- dreptunghic isoscel, cu lungimile laturilor
de forma (b, b, b√2).
[tex]\it AI=AD-ID=BD-ID=\dfrac{b\sqrt2}{2}-r=\dfrac{b\sqrt2-2r}{2}\ \ \ \ \ (1)[/tex]
Pentru un triunghi dreptunghic cu laturile a, b, c, avem :
[tex]\it 2r=b+c-a[/tex],
care transpus la cazul nostru va fi:
[tex]\it 2r=b+b-b\sqrt2=2b-b\sqrt2\ \ \ \ \ \ (2)[/tex]
[tex]\it (1),\ (2) \Rightarrow AI=\dfrac{b\sqrt2-2b+b\sqrt2}{2}=\dfrac{2b\sqrt2-2b}{2}=\dfrac{2(b\sqrt2-b)}{2}=b\sqrt2-b\\ \\ \\ Deci,\ \ AI=b\sqrt2-b |_{+b}\Rightarrow b+AI=b\sqrt2 \Rightarrow AB+AI=BC\ \ [q.\ e.\ d.][/tex]
