Avem o progresie geometrica cu
[tex]b_1=1\\q=2\\n=64[/tex]
Stim ca suma primelor n elemente dintr-o progresie geometrica este [tex]S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}[/tex]
Astfel, aplicand formula pe cazul nostru :
[tex]S_n= \frac{2^{64}-1}{2-1} = 2^{64}-1[/tex]
Altfel spus trebuie sa demonstram ca [tex]2^{64} -1[/tex] este divizibil cu 15.
[tex]2^{64}= 4^{32} = 16^{16} = 256^{8} = 65536^4 = 4294967296^2 = 18446744073709551616[/tex]
Deci 18446744073709551616-1 = 18446744073709551615
Ca un numar sa fie divizibil cu 15 trebuie ca acesta sa fie divizibil cu 3 si cu 5.
Ca un numar sa fie divizibil cu 5 trebuie sa aiba ultima cifra 5 sau 0 (18446744073709551615 are ultima cifra 5, deci e divizibil cu 5)
Ca un numar sa fie divizibil cu 3 trebuie sa aiba suma cifrelor divizibila cu 3 (1+8+4+4+6+7+4+4+0+7+3+7+0+9+5+5+1+6+1+5=87 . Stim ca 87 este divizibil cu 3 (8+7=15), deci numarul este divizibil cu 3)
Fiind divizibil cu 3 si cu 5, numarul dat este divizibil cu 15
