Răspuns:
a) 72√3 cm²
b) 6√3 cm
Explicație:
a)
Pt.ca
ΔCAB este dreptunghic in A
m(∡ABC) = 30°
AC = 12 cm
⇒
BC = 2 · AC = 2 · 12 = 24 cm (teorema ∡ 30°)
AB² = BC² - AC²
AB² = 24² - 12² = 576 - 144 = 432
AB² = 432 = 2² · 2² · 3³
AB = √(2² · 2² · 3² · 3) = 4 · 3 · √3 = 12√3 cm
⇒
Aria A a Δ ABC este
A = AC · AB / 2 = 12 · 12√3 / 2 = 6 · 12√3 = 72 √3 cm²
b)
Ne amintim ca distanta de la un punct la o dreapta este ⊥ dusa din acel punct la acea dreapta. Deci il vom prelungi pe BC dincoace de C si de AD. Pe aceasta prelungire a lui BC , ducem ⊥ din D si obtinem un punct M.
⇔ DM ⊥ BC
Acum vom afla cat e acest DM (=distanta de la D la BC) :
Pt.ca
ΔCAB = dreptunghic in A
m(∡ABC) = 30°
⇒
m(∡ACB) = 180° - m(∡CAB) - m(∡ABC) = 180° - 90° - 30° = 60°
Dar ∡ ACB e opus la varf cu ∡MCD ⇒
∡ACB ≡ ∡MCD
⇔
m(∡MCD) = m(∡ACB) = 60°
In Δ DMC, dreptunghic in M
⇒
m(∡MDC) = 180° - m(∡MCD) - m(∡DMC) = 180° -60° -90° = 30°
In Δ DMC, dreptunghic in M, ipotenuza este CD si stim din ipoteza ca
CD = AC = 12 cm
Aplicam teorema ∡ de 30° ⇒
MC = CD/2 = 12/2 = 6 cm
Aplicam t. Pitagora pt.cateta MD ⇒
MD² = CD² - MC²
MD² = 12² - 6² = 144 - 36 = 108 = 2²·3³
MD = √108 = √ (2²·3³) = 2·3·√3 = 6√3 cm
