Avem:
[tex]U(3^{1} )=3\\U(3^{2} )=9\\U(3^{3} )=U(27)=7\\U(3^{4} )=U(81)=1\\-----------[/tex]
[tex]U(3^{5} )=3[/tex] - observăm că ultima cifră începe să se repete. Deci se repetă din 4 în 4. Pentru a afla care din cele 4 este cea corectă, trebuie să împărțim exponentul la 4. Restul împărțirii reprezintă ordinea răspunsului în șirul 3, 9, 7, 1.
Putem încerca să calculăm ultima cifră a lui [tex]3^{2019}[/tex]. Prin împărțirea lui 2019 la 4 obținem 2019 : 4 = 504 rest 3. Deci înseamnă că ultima cifră va fi 7.
Acum hai să încercăm să calculăm ultima cifră a sumei date de tine:
[tex]S=1+3^{1} +3^{2} +3^{3}+3^{4} +3^{5} +...+3^{2017} +3^{2018}+ 3^{2019}[/tex]
Ultima cifră a sumei este, de fapt, ultima cifră a sumei ultimelor cifre. Și avem:
[tex]S=1+3+9+7+1+3+...+3+9+7[/tex]
Ne dăm seama că grupul [tex](3+9+7+1)[/tex] se va repeta de acum. Câtul împărțirii lui 2019 la 4 determină de câte ori se repetă acest grup de numere.
[tex]S=1+504*(3+9+7+1)+3+9+7\\S=20+504*20\\S=20+10.080\\S=10.100[/tex]
Ultima cifră a sumei este 0, deci răspunsul corect este 0 va fi ultima cifră.
