Răspuns:
Subiect1
1.
x∈R
x-1; x+1; 3x-1 termeni consecutivi ai unei progresii geometrice ⇒ exista r∈R astfel incat:
[tex]\left \{ {{(x+1)= (x-1)+r} \atop {(3x-1)= (x+1)+r}} \right. <=>\left \{ {{ x+1-x+1= r} \atop {3x-1-x-1=r}} \right.<=>\left \{ {{ 2 = r} \atop {2x-2=2}} \right.<=>\left \{ {{ r =2} \atop {x=2}} \right.[/tex]
⇒ x = 2, r = 2
⇒ termenii consecutivi ai progresiei geometrice sunt: 1; 3; 5
2.
√(x-1) = x-3,
conditii: x-1 ≥ 0 si x-3 ≥ 0 ⇒ x∈[3, +∞)
√(x-1) = x-3 ⇔ [√(x-1)]² = (x-3)² ⇔ x-1 = (x-3)² ⇔ x-1 = x²+9-6x ⇔ x²-7x+10=0
Δ = 49-40 = 9
⇒ x₁,₂ = (7±3)/2 ⇒ x∈{2, 5} ∩ [3, +∞) ⇒ x = 5
3.
f(x)= 5-x ⇒ f(5)=0
f(-2017)·f(-2016)·....·f(2017) =
= f(-2017)·f(-2016)·....·f(5)·...·f(2017) =
= f(-2017)·f(-2016)·....·0·...·f(2017) =
= 0
4.
[tex]C^{2}_{7} = \frac{7!}{2!*5!} = \frac{7*6*5!}{2!*5!} = \frac{7*6}{2*1} =7*3=21[/tex]
5.
d₁: y = 2x-6
d₂: y = (x+6)/2
M(a,b) ∈ d₁ ∩ d₂
M(a,b) ∈d₁ ⇔ b = 2a-6
M(a,b) ∈d₂ ⇔ b = (a+6)/2
⇒ 2a-6= (a+6)/2 ⇔4a-12=a+6 ⇔ 3a = 18 ⇒ a=6
b = 2a-6 ⇒ b=6
{M(6,6)} = d₁ ∩ d₂
6.
Într-un triunghi oarecare pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul lor multiplicat cu cosinusul unghiului dintre ele.
⇒ NP²=MN²+MP²-2·MN·MP·cos(∡M)
⇒ cos(∡M) = (MN²+MP²- NP²)/2·MN·MP
⇒ cos(∡M) = (4²+5²- 6²)/2·4·5 = 5/2·4·5 = 1/8
