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determinati masurile unghiurilor unui triunghi ABC stiind ca :

-AD cade perpendicular pe BC
-D apartine BC
-BE bisectoarea unghiului ABC
-E apartine AC si M este egal cu AD reunit cu BE
-triunghiurile AMB si ADC sunt isoscele

analizati si cazul B apartine DC

Răspuns :

sper sa intelegi. vei intelege foarte bine daca vei avea figura geometrica in fata. am incercat pe cat posibil sa explic mai detaliat
Δamb isoscel⇒unghi mab=unghi mba
be bisectoare⇒unghi abe=unghi ebc din ambele ⇒unghi mab=unghi ebc 
                       unghi ebc=unghi abc/2              ⇒unghi bam=unghi abc/2                     
unghi bac+unghi abc+unghi acb=180
unghi bad acelasi cu unghi bam pt ca m apartine lui be 
unghi bac=unghi bam+unghi dac
                unghi bam=unghi abc/2 din astea doua ⇒
unghi bac=unghi abc/2+unghi dac
unghi bac+unghi abc+unghi acb=180 din astea doua ⇒
unghi abc/2+unghi dac+unghi abc+unghi acb=180 (aduc la acelasi numitor la unghi abc)
unghi abc/2+unghi dac+2unghi abc/2+unghi acb=180
3unghi abc/2+unghi dac+unghi acb=180
dar unghi dac=unghi acd (pt ca Δadc isosecl) iar d apartine lui bc⇒unghi dac=unghi dca=unghi bca din ultimele doua ⇔unghi bca=unghi dac
3unghi abc/2+unghi bca+unghi bca=180
3unghi abc/2+2unghi bca=180
Δdac: unghi adc+unghi dac+unghi dca=180
         unghi adc=90 (pt ca ad perpendicular bc)
         unghi dac=unghi adc din tot ⇒
90+2unghi dca=180
2 unghi dca=180-90
2 unghi dca=90⇒unghi dca=90/2⇒unghi dca=45
                                                 3unghi abc/2+2unghi bca=180
                                  si unghi bca acelasi cu unghi dca di tot ⇒
3unghi abc/2+2×45=180
3unghi abc/2+90=180
3unghi abc/2=180-90
3unghi abc/2=90⇒unghi abc=90×2/3⇒unghi abc=180/3⇒unghi abc=60
unghi bad=unghi abc/2⇒unghi bad=60/2⇒unghi bad=30
unghi dac=unghi dac pt ca Δadc isoscel
unghi dca=45 di ultimele doua ⇒unghi dac=45
unghi bac=unghi bad+unghi dac=30+45⇒unghi bac=75
unghi dca=45 dar unghi bca acelasi cu unghi dca⇒unghi bca=45

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