Evident, VA, VB și VN sunt generatoare ale conului, deci:
VA = VN = VB = 18 cm.
AB = 18 cm ⇒ OA = OB = ON = 9 cm (raze ale bazei).
a)
Unghiul format de o dreaptă cu un plan este unghiul format de dreaptă
cu proiecția ei pe plan.
Proiecția lui VN pe planul bazei este ON = 9 cm.
[tex]\it \widehat{[VN,\ (ANB)]}=\widehat{(VN,\ NO)}=\widehat{(VNO)}\\ \\ VO\perp (ANB)\ \ \c{s}i\ \ NO\subset(ANB)\ \Rightarrow VO\perp NO \Rightarrow \Delta VON-dr\ (\hat O=90^o)\\ \\ VN=18\ cm,\ iar\ ON = \dfrac{18}{2}=9cm[/tex]
Din reciproca teoremei unghiului de 30°, vom avea:
[tex]\it \widehat{(OVN)}=30^o \Rightarrow \widehat{(VNO)}=60^o\ (complementul\ lui\ 30^o )\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow\widehat{[VN,\ (ANB)]}=60^o[/tex]
b) Proiectăm M în M' și proiecția lui MB pe planul (ABN) este M'B.
[tex]\it VO\perp(ABN)\ \ \c{s}i\ \ MM'\perp (ABN) \Rightarrow MM'||VO\ \ \ \ (1)\\ \\ M=\ mijlocul\ lui\ VB\ \ \ \ (2)\\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow MM'\ -\ linie\ mijlocie\ \^{i}n\ \Delta VOB \Rightarrow M'O=M'B=\dfrac{OB}{2}=\dfrac{9}{2}=4,5 =pr_{(ABN)}MB[/tex]
c)
[tex]\it VO \perp\ (ABN)\ \c{s}i\ NO \subset (ABN) \Rightarrow VO \perp NO \Rightarrow NO \perp VO\ \ \ \ (1)\\ \\ AB-diametrul\ bazei \Rightarrow \Delta ANB-dreptunghic\ \ \ \ (2)\\ \\ N-mijocul\ arcului\ AB \Rightarrow AN=NB\ \ \ \ \ (3)\\ \\ (2),\ (3) \Rightarrow NO\perp AB\ \ \ \ (4)\\ \\ VO,\ \ AB \subset (VAB)\ \ \ \ \ (5)[/tex]
[tex]\it (1),\ (4),\ (5)\ NO \perp (VAB) \Rightarrow pr_{(VAB)}AN\ =\ AO=9\ cm\ (raza\ bazei)[/tex]
