Răspuns:
[tex]\boxed{\boxed{\bigg[ \bf card\; P = 32 \bigg] }} \;\;\;\;\;\bf (a)[/tex]
[tex]\boxed{\boxed{\bigg[\bf card\; X = 3\bigg]}} \;\;\;\; \bf (b)[/tex]
Explicație pas cu pas:
1. Eliminăm din problema numerele prime care au doi divizori:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89
2. Pentru a afla numărul de divizori ai unui număr îl descompunem în factori primi:
[tex]\bf x=p_1 ^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot p_3^{k_3} \cdot ... \cdot p_{n}^{k_n}[/tex]
[tex]\bf unde \; x \in \mathbb{N} \;\;\;\;\ Fie : N-numarul \; de \; divizori[/tex]
[tex]\bf N = (k_1 +1)(k_2 +1)(k_3+1)\cdot ... \cdot ( k_n +1)[/tex]
3. Căutăm intai un cub perfect mai mic decât 96 care are numărul de divizori 4 :
analizând formula ⇒ că avem nevoie de exponentul 3.
[tex]\bf 1^3 = 1 \implies nu \; convine[/tex]
[tex]\bf 2^3 = 8 \implies D_8=\{1;2;4;8\} -convine[/tex]
[tex]\bf 3^3 = 27 \implies D_{27} = \{1;3;9;27\} -convine[/tex]
[tex]\bf 4^3 = 64 \implies D_{64}=\{1;2;4;8;16;32;64\}-nu \; convine[/tex]
[tex]\bf 5^3 =125-nu\; convine[/tex]
4. Incercam descompunerea eliminand numerele prime:
[tex]\bf 4=2^2 \rightarrow (2+1)=3 - nu \; convine[/tex]
[tex]\bf 6=2^1\cdot 3^1 \rightarrow (1+1)(1+1) = 4 -convine[/tex]
[tex]\bf 9= 3^2 \rightarrow (2+1)=3 - nu \; convine[/tex]
[tex]\bf 10 = 2^1 \cdot 5^1 \rightarrow (1+1)(1+1) = 4 - convine[/tex]
[tex]\bf 12= 2^2 \cdot 3^1 \rightarrow (2+1)(1+1) = 6 - nu \; convine[/tex]
[tex]\bf 14=2^1 \cdot 7^1 \rightarrow (1+1)(1+1)=4 -convine[/tex]
[tex]\bf 15=3^1 \cdot 5^1 \rightarrow (1+1)(1+1)=4 -convine[/tex]
[tex]\bf 16=2^4 \rightarrow (4+1)=5 - nu\; convine[/tex]
[tex]\bf 18=2 \cdot 3^2 \rightarrow (1+1)(1+2)=6 - nu \; convine[/tex]
[tex]\bf 20=2^2 \cdot 5^1 \rightarrow (2+1)(1+1)=6 - nu \; convine[/tex]
[tex]\bf \implies \boxed{\bf P_{\leq 20 \; \in \; N } = \bigg\{6;8;10;14;15 \bigg\}}[/tex]
[tex]\bf 21= 3^1 \cdot 7^1 \rightarrow (1+1)(1+1) = 4 -convine[/tex]
[tex]\bf 22 = 2^1 \cdot 11^1 \rightarrow (1+1)(1+1)=4-convine[/tex]
[tex]\bf 24=2^3 \cdot 3 \rightarrow (3+1)(1+1) = 8 -nu \; convine[/tex]
[tex]\bf 25=5^2 \rightarrow (2+1)=3 - nu \; convine[/tex]
[tex]\bf 26= 2^1 \cdot 13^1 \rightarrow (1+1)(1+1)=4 -convine[/tex]
[tex]\bf 28=2^2 \cdot 7^1 \rightarrow (2+1)(1+1) = 6-nu \; convine[/tex]
[tex]\bf 30 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \rightarrow (1+1)(1+1)(1+1) = 8-nu \; convine[/tex]
[tex]\implies \boxed{\bf P_{20\; \leq \; 30 \; \in \; N} =\bigg\{21;22;26;27\bigg\} }[/tex]
[tex]\bf 32= 2^5 \rightarrow (5+1)=6 - nu \; convine[/tex]
[tex]\bf 33=3^1 \cdot 11^1 \rightarrow (1+1)(1+1)=4-convine[/tex]
[tex]\bf 34=2^1 \cdot 17^1 \rightarrow (1+1)(1+1) = 4 - convine[/tex]
[tex]\bf 35 = 5^1 \cdot 7^1 \rightarrow (1+1)(1+1) = 4 -convine[/tex]
[tex]\bf 36= 2^2 \cdot 3^2 \rightarrow (2+1)(2+1)= 9-nu\; convine[/tex]
[tex]\bf 38=2^1 \cdot 19^1 \rightarrow (1+1)(1+1)=4-convine[/tex]
[tex]\bf 39=3^1 \cdot 13^1 \rightarrow (1+1)(1+1)=4-convine[/tex]
[tex]\bf 40=2^3 \cdot 5^1 \rightarrow (3+1)(1+1)=8-nu \; convine[/tex]
[tex]\implies \boxed{\bf P_{30\; \leq \; 40 \; \in \; N}=\bigg\{33;34;35;38;39\bigg\} }[/tex]
Și descompui așa mai departe pana vei afla mulțimea P...acum voi scrie doar ce convine deoarece ar dura foarte mult.
[tex]\implies \boxed{\bf P_{40\; \leq \; 70 \; \in \; N} = \bigg\{46; 51;55;57;58;62;65;69\bigg\} }[/tex]
[tex]\boxed{\bf P_{70\; \leq\; 95 \; \in \; N} = \bigg\{ 74;77;82;85;86;87;91;93;94;95\bigg\} }[/tex]
[tex]\bf \implies \boxed{\boxed{\bigg[ \bf card\; P = 32 \bigg] }}[/tex]
[tex]\bf \;[/tex]
[tex]\bf D_6=\{1;2;3;6\} \rightarrow S=12[/tex]
[tex]\bf D_8=\{1;2;4;8\} \rightarrow S=15[/tex]
[tex]\bf D_{10} = \{1;2;5;10\} \rightarrow S=18[/tex]
[tex]\bf D_{14} = \{1;2;7;14\} \rightarrow S=24[/tex]
[tex]\bf D_{15}=\{1;3;5;15\} \rightarrow S=24[/tex]
[tex]\bf D_{21}=\{1;3;7;21\} \rightarrow S=32[/tex]
[tex]\bf D_{22}=\{1;2;11;22\} \rightarrow S=36[/tex]
[tex]\bf D_{26}=\{1;2;13;26\} \rightarrow S=42[/tex]
[tex]\bf D_{27}=\{1;3;9;27\} \rightarrow S=40[/tex]
[tex]\bf D_{33}=\{1;3;11;33\} \rightarrow S=48[/tex]
[tex]\bf D_{34}=\{1;2;17;34\} \rightarrow S=54[/tex]
[tex]\bf D_{35}=\{1;5;7;35\} \rightarrow S=48[/tex]
[tex]\bf D_{38}=\{1;2;19;38\} \rightarrow S=60[/tex]
Și continui așa mai departe cu toți divizorii numerelor din mulțimea P - ar dura foarte mult așa ca trec direct la cazurile favorabile.
[tex]\boxed{\bf D_{62}=\{1;2;31;62\} \rightarrow S=96}[/tex]
[tex]\boxed{\bf D_{69}=\{1;3;23;69\} \rightarrow S=96}[/tex]
[tex]\boxed{\bf D_{77}=\{1;7;11;77\} \rightarrow S=96}[/tex]
Avem X = { 62 ; 69 ; 77 } - 3 numere care indeplinesc cerinta
[tex]\implies \boxed{\boxed{\bigg[\bf card\; X = 3\bigg]}}[/tex]
#copaceibrainly