triunghiul ABC este isoscel de baza BC ⇔ AB=BC=12cm (AB=12cm),
m(∡ABC)=m(∡ACB).
AM⊥AB ⇒ m(∡MAB)=90°.
a) triunghiul este isoscel ⇔ m(∡ABC)+m(∡ACB)+m(∡BAC)=180° ⇔
2m(∡ABC)=180°-m(∡BAC) ⇔ m(∡ABC)=m(∡ACB)= 1/2[180°-m(∡BAC)]=30°.
b) in triunghiul BAM, m(∡ABM)=30° (punctul a)) ⇒ AM=1/2BM.
aplicam teorema lui pitagora in triunghiul BAM.
AM²+AB²=BM² ⇔ (1/2BM)²+12²=BM² ⇔
1/4BM²+144=BM² ⇔ BM²+576=4BM² ⇔ 576=3BM² ⇔ BM²=192 ⇒
BM=8√3.
c) m(∡AMC)=120° si cum m(∡ACM)=30° ⇒ triunghiul ACM este isoscel de baza AC, AM=MC.
conatruim AN⊥BC, triunghiul fiind isoscel AN este si mediana.
in triunghiul ANC, m(∡ACN)=30° ⇒ AN=1/2AC=6cm.
conform teoremei lui pitagora in triunghiul ACN : AN²+NC²=AC² ⇒
NC=6√3 ⇒ BC=12√3.
construim MP⊥AC, MP este si mediana ⇒ PC=AP=6cm.
unghiul ACM=30° ⇒ MP=1/2MC.
conform teoremei lui pitagora in triunghiul MPC ⇒
MP²+PC²=MC² ⇔ (1/2MC)²+6²=MC² ⇔ 1/4MC²+36=MC² ⇔
3MC²=144 ⇒ MC²=48 ⇒MC=4√3.
Asadar, MC=AM=4√3.
AC²=AM·BC ⇔ 12²=(4√3)(12√3)=12·12=12² (A).
