Răspuns:
[tex]\frac{2\sqrt{102}+3\sqrt{101} }{10}[/tex]
Explicație pas cu pas:
x=[tex]\frac{1}{1*2} +\frac{1}{2*3} +... +\frac{1}{100*101}[/tex]
pentru a il calcula pe x, trebuie sa lucram fiecare fractie individual. Observam ca diferenta dintre factorii numitorului este de 1, exact numaratorul.
[tex]\frac{1}{1*2}=\frac{2-1}{1*2} =\frac{2}{1*2} -\frac{1}{1*2}=1-\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\frac{1}{2*3}=\frac{3-2}{2*3}=\frac{3}{2*3} -\frac{2}{2*3} =\frac{1}{2} -\frac{1}{3}[/tex]
.....................
[tex]\frac{1}{100*101}=\frac{101-100}{100*101}=\frac{101}{100*101} -\frac{100}{100*101}=\frac{1}{100} - \frac{1}{101}[/tex]
_____________ Adunam pe coloane
[tex]\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3} + ... + \frac{1}{100*101} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100} -\frac{1}{101}[/tex]
Observam ca ce se afla in stanga egalului este exact x. In dreapta, avem grupari de aceiasi termeni cu semn contrat care se reduc (spre exemplu, -1/2 si +1/2, care fac 0)
=> [tex]x=1-\frac{1}{101}[/tex] <=> [tex]x=\frac{101-1}{101}=\frac{100}{101}[/tex]
Pentru a il calcula pe y se va folosi aceeasi metoda, insa eu voi scriu direct rezultatul. In cadrul rezolvarii tale, poti sa scrii "Aidoma pentru y", urmata de y-ul final, exact cum o sa fac si eu.
[tex]y=1-\frac{1}{51}=\frac{51-1}{51}=\frac{50}{51}[/tex]
Cat pentru fractie,
[tex]\sqrt{x} =\sqrt{\frac{100}{101} } =\frac{\sqrt{100} }{\sqrt{101} } =\frac{10}{\sqrt{101} } =\frac{10\sqrt{101} }{101}[/tex]
[tex]\sqrt{y}=\sqrt{\frac{50}{51}}=\frac{\sqrt{50} }{\sqrt{51} } =\frac{5\sqrt{2}*\sqrt{51} }{51}=\frac{5\sqrt{102}}{51}[/tex]
=> la numitor vom avea:
[tex]2\sqrt{x} +3\sqrt{y} =\frac{2*10\sqrt{101} }{101} +\frac{3*5\sqrt{102} }{51} = \frac{20\sqrt{101}*51+3*5\sqrt{102}*101 }{51*101}[/tex]
La numitor o sa fie:
[tex]2\sqrt{xy} =2\frac{10\sqrt{101}*5\sqrt{102} }{101*51}[/tex]
Astfel fractia deveni, fii pregatit
[tex]\frac{\frac{20\sqrt{101}*51+15\sqrt{102}*101 }{51*101} }{2\frac{{10*5*\sqrt{101*102} } }{101*51} }[/tex]
Din fericire, observam ca se reduc numaratorii
=> [tex]\frac{1020\sqrt{101}+1515\sqrt{102} }{50\sqrt{101*102} }[/tex]
Simplificam toata ecuatia prin 5
=> [tex]\frac{204*\sqrt{101}+303\sqrt{102} }{10\sqrt{101*102} }[/tex]
Putem lasa asa sau putem merge un pas mai in fata!
Observam ca:
[tex]204=2*102=2*\sqrt{102} ^{2}[/tex]
[tex]303=3*101=3*\sqrt{101} ^{2}[/tex]
=> dam factor comun pe [tex]\sqrt{101}*\sqrt{102}[/tex] la numitor si acesta devine:
[tex]\sqrt{101*102} (2\sqrt{102}+3\sqrt{101})[/tex]
Fractia devine:
[tex]\frac{\sqrt{101*102}(2\sqrt{102}+3\sqrt{101})}{10*\sqrt{101*102} }[/tex]
Simplificam radicalul
=> Raspuns:
[tex]\frac{2\sqrt{102}+3\sqrt{101} }{10}[/tex]