Calculăm mai întâi numărătorul fracției, și obținem:
[tex]f(1)+f(2)+...+f(n)=[/tex]
[tex]=\sqrt[3]{1}-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{5}+...+\sqrt[3]{2n-1}-\sqrt[3]{2n+1}=1-\sqrt[3]{2n+1}[/tex]
Înlocuim în limita cerută, ajungem la cazul [tex]1^\infty[/tex]și îl tratăm cu artificiul de calcul cunoscut pentru a folosi limita celebră:
[tex] \lim_{n \to \infty}(1+a_n)^{\dfrac{1}{a_n}}=e,\ unde\ a_n\rightarrow0\ cand\ n\rightarrow \infty[/tex]
Deci calculele: (notez cu L limita ceruta)
[tex]L=lim\left(1+\dfrac{-1}{\sqrt[3]{2n+1}}\right)^{\sqrt[3]{2n}}=[/tex]
[tex]=lim\left(\left(\left(1+\dfrac{-1}{\sqrt[3]{2n+1}}\right)^{-\sqrt[3]{2n+1}}\right)^\dfrac{-1}{\sqrt[3]{2n+1}}}\right)^{\sqrt[3]{2n}}=[/tex]
[tex]=e^{lim\dfrac{-\sqrt[3]{2n}}{\sqrt[3]{2n+1}}}=e^{-1}=\dfrac1e[/tex]
