Vrem să obținem egalitatea
[tex]30i+32=(a+bi)^2[/tex]
Adică:
[tex]30i+32=a^2-b^2+2abi[/tex]
Două numere complexe sunt egale dacă au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară. Obținem:
[tex]a^2-b^2=32\ \ \ \ (1)[/tex] și
[tex]2ab=30\Leftrightarrow ab=15\ \ \ \ (2)[/tex]
Pe de altă parte,
[tex]|30i+32|=(|a+bi|)^2\Leftrightarrow \sqrt{30^2+32^2}=(\sqrt{a^2+b^2})^2[/tex], adică:
[tex]a^2+b^2=2\sqrt{481}\ \ \ \ (3)[/tex]
Scădem din (1) pe (3) și obținem:
[tex]2a^2=32+2\sqrt{481}\Rightarrow a=\pm\sqrt{16+\sqrt{481}}[/tex]
Scădem din (3) pe (1) și obținem în mod asemănător:
[tex]b=\pm\sqrt{\sqrt{481}-16}[/tex]
Ca să fie îndeplinită și relația (2), trebuie ca a și b să aibă același semn.
Deci:
[tex]30i+32=\left(\sqrt{16+\sqrt{481}}+i\sqrt{\sqrt{481}-16}\right)^2[/tex]
Rezultatul se poate verifica prin calcul.
