Descompunem intai greutatea pe directiile tangentiala si normala:
[tex]G_t=mg\sin\alpha \\ G_n=mg\cos\alpha[/tex]
Pe directia normala, fortele sunt in echilibru, deci:
[tex]G_n=N\ \ \ \Rightarrow \ \ \ N=mg\cos\alpha[/tex].
De aici, aflam forta de frecare (care e aceeasi atat la urcare, cat si la coborare - difera doar sensul ei):
[tex]F_f=\mu N=\mu mg\cos\alpha[/tex]
Acum putem scrie echilibrul fortelor pe directia tangentiala.
Prima data, ecuatia la urcare:
[tex]F_1=F_f+G_t \\ \\ \Rightarrow F_1=mg(\mu\cos\alpha+\sin\alpha )[/tex]
Apoi, scriem ecuatia la coborare:
[tex]F_2+G_t=F_f \\ \\ \Rightarrow F_2=mg(\mu\cos\alpha - \sin\alpha).[/tex]
Acum avem un sistem format din cele 2 ecuatii.
Ca sa aflam unghiul, scadem cele doua ecuatii, si obtinem:
[tex]F_1-F_2=2mg\sin\alpha \\ \\ \Rightarrow \sin\alpha=\dfrac{F_1-F_2}{2mg}.[/tex]
Ca sa aflam coeficientul de frecare, adunam cele 2 ecuatii, si avem:
[tex]F_1+F_2=2mg\mu\cos\alpha\\ \\ \Rightarrow\mu=\dfrac{F_1+F_2}{2mg\cos\alpha}=\dfrac{F_1+F_2}{2mg\sqrt{1-\sin^2\alpha}}.[/tex]
