Răspuns:
Explicație pas cu pas:
x*y=-3xy+3x+3y-2 (1)
a) Tr. să demonstrăm că legea de compoziție poate fi scrisă:
x*y=-3·(x-1)·(y-1)+1 (2)
Există două moduri de demonstrare:
1) pornind de la -3xy+3x+3y-2, facem transformări până nu ajungem la -3·(x-1)·(y-1)+1.
2) pornind de la -3·(x-1)·(y-1)+1, facem transformări până nu ajungem la -3xy+3x+3y-2.
Cred, accepți că metoda 2) e mai ușoară, deci asta și facem:
-3·(x-1)·(y-1)+1=-3·(xy-x-y+1)+1=-3xy+3x+3y-3+1=-3xy+3x+3y-2=x*y din (1).
Deci (2) este adevărată.
b) x*x=-2, este o ecuație cu necunoscuta x.
Din (2), ⇒ -3(x-1)(x-1)+1=-2, ⇒-3(x-1)²=-2-1, ⇒-3(x-1)²=-3 |:(-3), ⇒
(x-1)²=1, ⇒ x-1=±1, ⇒ x-1=-1 sau x-1=1, ⇒ x=0 sau x=2
Răspuns: S={0, 2}
c) Fie e este element neutru, atunci x*e=x=e*x
x*e=-3(x-1)(e-1)+1=x, ⇒-3(x-1)(e-1)=x-1, ⇒-3(x-1)(e-1)-(x-1)=0, ⇒
(x-1)(-3(e-1)-1)=0, ⇒(x-1)(-3e+3-1)=0, ⇒ -3e+2=0, ⇒-3e=-2 |:(-3), ⇒ e=2/3.
Același rezultat obținem și din e*x=x
Răspuns: e=2/3.
