Răspuns:
a∈(-∞;0)
Explicație pas cu pas:
Prefer metoda grafică . Cercetăm funcțiile f(x)=ln(1+2x) și g(x)=x²+a.
Se cunosc bine graficele acestor două funcții...
Domeniul valorilor admisibile (C.E.) se află din 1+2x>0, ⇒x>-1/2,
Funcția f(x) este strict crescătoare cu asimptota verticală x=-1/2
Pentru x=0, f(0)=ln(1+2·0)-0²=0, deci graficul funcției f(x) trece prin originea de coordonate.
Funcția g(x) este o parabolă cu ramurile orientate în sus și vârful ei situat pe axa Oy, pentru diferite valori ale lui a.
Din grafic se observă că graficele vor avea un singur punct de intersecție cu abscisă negativă, numai dacă a<0. În acest caz mai are un punct de intersecție, dar cu abscisă pozitivă.
Anexez argumentarea grafică...
p.s. Evident, se poate cerceta funcția f(x)=ln(1+2x)-x² cu ajutorul derivatei, intervale de monotonie cu punctul de extrem (maxim) găsit, x=1/2, dar rezultatul va fi același. Iară se va apela la punctul de intersecție a graficului funcției f(x)=ln(1+2x)-x² cu dreapta de ecuație y=a.
