cuatia de forma
ax2 + bx + c = 0,
(1)
unde a, b, c Î R,
a ¹ 0, x - variabila, se numeste ecuatie
de gradul al doilea (ecuatia patrata).
Numerele a, b si c din (1) se numesc
coeficienti ai ecuatiei de gradul al doilea, iar numarul
D = b2 - 4ac se numeste
discriminant al ecuatiei de gradul al doilea.
Exemplul 1. Ecuatiile ce urmeaza sunt ecuatii de gradul al doilea:
a) 6x2 + 5x + 1 = 0, cu a = 6,
b = 5, c = 1 si
D = 52 - 4·6·1 = 1;
b) 9x2 - 12x + 4 = 0, cu a = 9,
b = -12, c = 4 si
D = (-12)2 - 4·9·4 = 0;
c) x2 - x - 2 = 0, cu a = 1,
b = -1, c = -2 si
D = (-1)2 - 4·1·(-2) = 9;
d)
Ecuatiile de gradul al doilea pot fi rezolvate conform urmatoarei afirmatii:
Afirmatia 1. Daca
a) discriminantul ecuatiei (1) este pozitiv, atunci ecuatia
(1) are doua radacini distincte:
(2)
b) discriminantul ecuatiei (1) este egal cu zero, atunci ecuatia
(1) are doua radacini egale (o radacina de multiplicitatea doi):
(3)
c) discriminantul ecuatiei (1) este negativ, atunci ecuatia
(1) nu are radacini reale.
Asadar, (a se vedea exemplul 1):
ecuatia a) are doua radacini distincte
x1 = -1/2 si
x2 = -1/3;
ecuatia b) are doua radacini egale
x1 = x2 = 2/3;
ecuatia c) are doua radacini distincte x1 = -1 si
x2 = 2;
ecuatia d) nu are radacini reale.
Ecuatia de gradul al doilea cu a = 1 se numeste ecuatie patrata redusa si se
noteaza de regula
x2 + px + q = 0
(4)
si formulele (2) si (3) de calcul ale
radacinilor devin
(5)
x1 = x2 = -p/2,
(D = 0).
(6)
Ecuatiile de forma
ax2 + bx = 0,
(7)
ax2 + c = 0.
(8)
se numesc ecuatii de gradul al doilea incomplete. Ecuatiile (7),
(8) pot fi rezolvate cu ajutorul afirmatiei 1 sau altfel,
mai simplu:
ax2 + bx = 0 Û
x(ax + b) = 0 Û
x1 = 0;
x2 = -b/a.
ax2 + c = 0 Û
x2 = -c/a
Û
ac £ 0,
x Î Æ,
ac > 0.
Exemplul 2. Sa se rezolve ecuatiile
a) 2x2 - 7x = 0;
b) 9x2 - 25 = 0;
c)
