Răspuns:
Explicație pas cu pas:
f(x)=x-e·lnx.
a) f '(x)=(x-e·lnx)'=1-e·(1/x)=1- e/x= (x-e)/x.
b) Daca ar exista asa un punct x0, de tangenta, atunci f '(x0)=1.
Sa rezolvam ecuatia (x0-e)/x0=1, ⇒x0-e=x0, ⇒x0-x0=e, ⇒0·x0=e, nu are solutii, deci NU EXISTA.
c) Avem de demonstrat ca ecuatia admite o singura solutie, pentru x>0
[tex]e^{x}-x^{e}=0,~~~e^{x}=x^{e}\\Functiile~g(x)=e^{x} ~~si~~ h(x)=x^{e} ~~sunt~ functii~ strict~ crescatoare~ pe~ (0;+\infty),[/tex]
Deci graficele lor pot avea un unic punct de intersectie, deci ecuatia data o unica solutie.
